200
uchun ham berilgan funksiyaning ixtiyoriy
x
nuqtada uzluksizligini ko’rsatish talab
qilingan.
a)
х
ga
õ
orttirmani berib, funksiyaning
х
х
nuqtadagi yangi qiymatini
topamiz:
;
x
x
x
x
x
x
)
x
x
(
)
x
x
(
)
x
x
(
f
6
5
5
3
6
3
6
5
3
2
2
2
b)
funksiyaning orttirmasini hisoblaymiz:
;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
x
(
f
)
x
x
(
f
у
2
2
2
2
3
5
6
6
5
3
6
5
5
3
6
3
v)
0
x
dagi funksiya orttirmasining limitini hisoblaymiz.
0
)
3
5
6
(
lim
lim
2
0
0
x
x
x
x
x
y
x
x
Shunday qilib, berilgan funksiya istalgan
х
nuqtada uzluksiz bo’lar ekan.
Funksiya hosilasi va uning tadbiqlari.
Nyuton masalasi
Masala. Moddiy nuqta to’g’ri chiziqli harakat qilib M vaziyatda bo’lganda
harakatning berilgan t paytdagi v tezligini toping.
Bu masalani yyechish uchun quyidagicha faraz qilamiz.
Faraz
qilaylik, moddiy nuqta to’g’ri chiziqli harakat qilib, t vaqt ichida
s
masofani bosib o’tsin, ya’ni O nuqtadan M nuqtaga kelsin.
Agar t vaqtga yana vaqt qo’shilsa, vaqt ichida moddiy nuqta M
1
masofaga
keladi. Ma’lumki, bu yerdagi
s
masofa t ning funksiyasidir, ya’ni t vaqt ichida s(t)
masofani bosib o’tadi.
U vaqtda OM
1
orasidagi masofa esa
ga bog’liq
bo’ladi. Agar moddiy nuqtani t vaqt ichida bosib o’tgan masofasini topadigan
bo’lsak, u bo’ladi.
Moddiy nuqtani vaqt ichida
masofani bosishi uchun harakatdagi
201
o’rtacha tezligi fizika kursidan ma’lumki, bo’ladi.
Nuqtaning t vaqtdagi
tezligi deb, vaqt oralig’idagi v o’rtacha tezlikning nolga intilgandagi limitiga
aytiladi.
Shuning uchun
(1)
Yuqoridagi savolning javobi (1) dagi limitni hisoblashga olib keldi.
Leybnis masalasi.
Dekart koordinatalar sistemasida berilgan
y=f(x)
egri
chizig’ining ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning absissa o’qining musbat
yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagining tangensini
topish masalasi hosila
tushunchasiga olib keladi.
Ta’rif.
y=f(x)
funksiyasining kesuvchisi AB ning V nuqtasini egri chiziq
bo’ylab A nuqtaga intilgandagi limitik vaziyati egri chiziqning shu nuqtasiga
o’tkazilgan urinma deb ataladi.
да bu holda V nuqta egri chiziq bo’ylab A nuqtaga intiladi:
Yuqoridagi qo’yilgan masalani yyechish bizni (3) dagi limitni hisoblashga
olib keldi.
Hosilaning ta’rifi
:
y=f(x)
funksiya X sohada aniqlangan bo’lsin.
Erkli
o’zgaruvchining birorta x=x0 qiymatini olib X sohadan chiqmay- digan
orttirma beramiz, u holda
funksiya orttirmasi hosil
bo’ladi.
202
Ta’rif
.
y=f(x)
funksiyasini x=x
0
nuqtadagi
funksiya orttirmasi
ni
argument orttirmasi
ga bo’lgan nisbatini
dagi limiti mavjud bo’lsa, bu
limit berilgan
funksiyasini x=x
0
nuqtadagi hosilasi deyiladi va
yoki
kabi yoziladi. Umumiy holatda esa
deb yoziladi,
Hosilasining mexanik ma’nosi
Moddiy nuqtani t vaqt ichidagi s masofani bosish uchun harakatdagi tezligini
topishdan iborat.
Hosilaning geometrik ma’nosi
Egri chiziqning biror nuqtasiga o’tkazilgan urinmani absissa o’qining musbat
yo’nalishi bilan hosil qilgan burchak koeffitsienti tga ni topishdan iborat.
6)
7)
Boshlang‘ich funksiya va integral tushunchalarini kiritish va o‘qitish
metodikasi.
Mexanikada o’rganilgan nuqtaning to’g’ri chiziqli harakatini qaraylik.
Harakat boshlanib ketgan t vaqt ichida nuqta S(t) yo'l o’tgan bo'lsin. U holda
203
nuqtaning V(t) oniy tezligi S(t) funksiyaning t vaqt bo'yicha hosilasiga teng,
ya’ni V(t)=S(t). Ikkinchi marta differentsiallash tezlanishini beradi:
).
(
)
(
)
(
11
t
a
t
S
