t
V
1
Amaliyotda teskari masala ham uchraydi: nuqtaning V (t) harakat tezligi
berilgan, uning bosib o'tgan S(t) yo'lini toping, y’ani shunday S(t) funksiyani
topish kerakki, uning hosilasi V(t) ga teng bo'lsin. Bunday masalalarni yyechish
uchun differentsiallash amaliga teskari bo'lgan integrallash amali ishlatiladi.
Tarif:
Agar berilgan oraliqdan olingan barcha
x
lar uchun
)
(
)
(
F
1
x
f
x
(1)
tenglik bajarilsa, u holda F(
x
) funksiya shu oraliqda
)
x
(
f
funksiyaning
boshlang’ich funksiyasi deyiladi.
1-misol. F (
x
)=
3
3
х
funksiya
oraliqda
2
x
x
f
)
(
funksiyaning boshlang’ich funksiyasidir, chunki barcha
lar uchun:
:
)
(
3
3
1
)
(
3
1
)
3
(
)
(
2
2
3
3
x
f
x
x
x
x
x
F
:
2-misol
x
x
f
2
sin
)
(
. funksiya
R
x
da
x
x
f
2
sin
)
(
funksiyaning
boshlang’ich funksiyasi bo’ladi. Chunki barcha
R
x
uchun
)
(
sin
cos
sin
)
(sin
sin
)
(sin
)
(
x
f
x
x
x
x
x
x
x
F
2
2
2
1
2
1
x
x
f
2
sin
)
(
9
2
x
x
F
sin
)
(
funksiya
R
x
oraliqda
x
x
f
2
sin
)
(
funksiyaning boshlang’ich
funksiyasidir, :
3-misol
x
x
x
F
4
)
(
. funksiya
;
0
x
oraliqda
x
x
f
6
)
(
funksiya uchun
boshlang'ich funksiya bo'ladi, chunki barcha uchun
;
0
x
204
)
x
(
f
x
x
)
x
(
)
x
x
(
)
x
(
F
'
6
2
3
4
4
4
2
1
1
2
5
1
Shuningdek
c
x
x
x
F
4
)
(
(s-istalgan o'zgarmas haqiqiy son) funksiya
ham
;
0
oraliqda
x
x
f
6
)
(
funksiya uchun boshlang'ich funksiya bo'ladi.
4-misol.
x
x
F
ln
)
(
funksiya
;
oraliqda
x
x
f
1
)
(
funksiya uchun
boshlang’ich funksiya bo’la olmaydi. Chunki
)
(
)
(
'
x
f
x
F
tenglik
0
;
oraliqda bajarilmaydi. Ammo
0
;
va
;
0
intervallarning
har
biridan
x
x
F
ln
)
(
funksiya
x
x
f
1
)
(
funksiya uchun boshlang’ich funksiya
bo’ladi.
Yuqoridagi misollardan ayon bo’ldiki, berilgan funksiya uchun uning
boshlang’ich funksiyasini topish masalasi bir qiymati aniqlanmas ekan. Asosiy
masala berilgan funksiya uchun uning barcha boshlang’ich funksiyalarini
topishdan iboratdir. Buning uchun boshlang’ich funksiyaning xossalarini bilish
zarur.
Lemma.
(funksiyaning o'zgarmaslik belgisi). Agar biror
I
oraliqda
0
)
(
'
x
F
0
x
bo'lsa, u holda
)
(
x
F
funksiya shu oraliqda o'zgarmasdir.
Isboti. I oraliqda biror
0
x
nuqtani tanlaylik. U vaqtda shu I oraliqka tegishli har
qanday
x
son uchun Lagranj formulasiga ko’ra
x
va
0
x
sonlar orasida yetgan
shunday
c
sonni ko'rsatish mumkinki,
Bo'ladi.
Shartga
ko'ra
0
)
(
c
F
,
chunki
cOy,
demak
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
x
x
c
F
x
F
x
F
0
0
)
(
)
(
x
F
x
F
Shunday qilib, I oraliqqa tegishli barcha lar uchun
)
(
)
(
0
x
F
x
F
yani,
)
(
x
F
funksiya o'zgarmas doimiy qiymatini saqlaydi.
205
1-teorema
. Agar
)
(
x
F
funksiya I=[
a
,b] kesmada
)
(
x
f
funksiya uchun
boshlang'ich funksiya bo'lsa, u holda
const
c
,
)
(
c
x
F
yig'indi ham [,
a
b]
kesmada
)
(
x
f
uchun boshlang’ich funksiya bo'ladi.
Isboti
.
)
(
x
F
funksiya
)
(
x
f
funksiya uchun I=
a
[,b] kesmada boshlang'ich
funksiya bo'lganligi tufayli
)
(
)
(
'
x
f
x
F
bo'ladi.
c
x
F
)
(
funksiyani ham
differentsiallaymiz va quyidagini olamiz
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
'
'
'
x
f
x
f
x
F
c
x
F
c
x
F
0
0
Shunday qilib, bitta funksiya cheksiz ko'p boshlang'ich funksiyalarga ega bo'lar
ekan. Boshlang'ich funksiyalar bir- biridan o'zgarmas songa farq qiladi.
2-teorema.
)
(
x
f
funksiyaning x=[
a
,b] oraliqdagi har qanday boshlang'ich
funksiyasi
c
x
F
)
(
(2)
ko'rinishda yozilishi mumkin
.
Bunda c–ixtiyoriy o'zgarmas son,
)
(
x
F
esa
)
(
x
f
funksiyaning x=[
a
,b]
oraliqdagi boshlang'ich funksiyalaridan biri.
Isboti
)
(
x
F
.
va
)
(
x
g
funksiyalar
)
(
x
f
funksiya uchun
)
x
(
f
)
x
(
Ф
)
x
(
F
1
1
x=[
a
,b]
oraliqdan
olingan
barcha
x
lar
uchun
.
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
F
)
x
(
Ф
))
x
(
F
)
x
(
Ф
(
0
1
1
1
Yuqorida keltirilgan lemmaga ko’ra
)
x
(
F
)
x
(
Ф
ayirma
]
b
;
a
[
kesmada
o’zgarmas funksiya bo’ladi, ya’ni
c
)
x
(
F
)
x
(
Ф
yoki
.
c
)
x
(
F
)
x
(
Ф
Boshlang’ich funksiyaning asosiy xossasiga geometrik ma’no berishi mumkin:
)
(
x
f
funksiyaning istalgan ikkita boshlang’ich funksiyasining grafiklari bir-
biridan bu o’q bo’ylab parallel ko’chirish natijasida hosil bo’ladi
4-misol.
2
x
)
x
(
f
funksiya uchun grafigi M(2;1) nuqtadan o’tuvchi boshlang’ich
funksiyani toping.
Yechish
2
x
)
x
(
f
. funksiyaning istalgan boshlang’ich funksiyasi
c
x
x
F
3
3
)
(
206
ko’rinishga
ega
y
0
x
157- a расм
M (2;1) nuqtadan o’tuvchi chiziqni topamiz. Buning uchun M nuqtaning
koordinatalarini
c
x
y
3
3
tenglamaga qo’yib, s ning qiymatini topamiz.
3
2
1
3
8
1
3
3
c
c
c
x
y
Demak, grafigi M nuqta orqali o’tuvchi boshlang’ich funksiya ko’rinishga ega.
5-misol.
)
sin(
)
(
3
x
x
f
funksiya uchun grafigi M
)
;
(
1
3
2
nuqtadan o’tuvchi
boshlang’ich funksiyani toping.
Yechish.
)
sin(
)
(
3
x
x
f
funksiya
uchun
boshlang’ich
funksiya
c
x
x
F
)
cos(
)
(
3
bo’ladi.
Grafigi M(
3
2
; -1) nuqtadan
207
1 М(2;1)
3 -2 -1 0 1 2 3 х
1
2
3
13
tuvchi boshlang’ich funksiyani topamiz. Buning uchun -1=-cos (
3
2
+
3
) + s
tenglamadan s ni topamiz.
2
1
1
1
|
