191
3-ta’rif.
Agar shunday o’zgarmas M son mavjud bo’lib,
n
a
ketma-
ketlikning har bir hadi shu sondan katta bo’lmasa, ya’ni
N
n
uchun
tengsizlik
M
x
n
o’rinli bo’lsa,
n
a
ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.
4-ta’rif.
Agar shunday o’zgarmas m son mavjud bo’lib,
n
a
ketma-
ketlikning har bir hadi shu sondan kichik bo’lmasa, ya’ni
N
n
uchun
m
x
n
tengsizlik o’rinli bo’lsa,
n
a
ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.
5-ta’rif.
Agar
n
a
ketma-ketlik
ham quyidan ham yuqoridan
chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday o’zgarmas
m va M sonlar topilib,
N
n
uchun
M
a
m
n
tengsizlik o’rinli bo’lsa,
n
a
ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Geometrik
nuqtai nazardan
n
a
ketma-ketlik chegaralangan bo’lsa,
shunday
M
m
,
kesma mavjudki, bu ketma-ketlikning barcha hadlari shu kesmada
joylashgan bo’ladi. Bu mulohazaning o’rinli bo’lishligi
chegaralangan ketma-
ketlikning barcha hadlari
M
a
m
n
tengsizlikni qanoatlantirishligidan kelib chiqadi.
Ko’pincha 5-ta’rifni quyidagi mazmunda ham aytish mumkin: Shunday K musbat
son mavjud bo’lib, n natural sonning barcha
qiymatlarida
K
a
n
tengsizlik o’rinli bo’lsa,
n
a
ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Bu
ta’rifdagi K sonni
m
va
M
sonlarning kattasiga teng qilib olish mumkin.
5-misol.
;...
1
1
;.....;
5
4
;
3
2
;
2
1
;
0
n
(1).
ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini ko’rsating.
Yechish. O’aqiqatan n natural son qanday bo’lmasin
1
1
1
n
tengsizlik
o’rinli. Bu tengsizlik ketma-ketlikning barcha hadlari uchun bajariladi.
6-misol.
192
;...
1
1
;.....;
4
5
;
3
4
;
2
3
;
2
n
(2)
ketma-ketlikning quyidan chegaralanganligini ko’rsating.
Yechish. n natural sonlarning barchasi uchun
2
1
1
1
1
n
n
tengsizlik o’rinli.
Shunday qilib, birdan kichik bo’lgan kasrlar o’suvchi
ketma-ketlik tashkil qilib,
uning istalgan hadi 1 dan katta kasrlardan tashkil topgan ketma-ketlikning istalgan
hadidan kichik bo’ladi. 1 dan katta kasrlardan
tashkil topgan ketma-ketlik
kamayuvchi bo’lib, uning istalgan hadi 1 dan kichik
kasrlardan tashkil topgan
ketma-ketlikning istalgan hadidan katta bo’ladi. Boshqacha aytganda (2) ketma-
ketlikning istalgan hadi (1) ketma-ketlik uchun yuqori chegara bo’ladi. (1) ketma-
ketlikning istalgan hadi esa (2) ketma-ketlikning quyi chegarasi bo’ladi.
7-misol.
;...
1
;.....;
10
9
;
5
4
;
2
1
2
2
n
n
ketma-ketlikning chegaralanganligini ko’rsating.
Yechish.
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
Demak,
N
n
uchun
1
1
1
0
2
n
Bu
esa
berilgan
ketma-ketlikning
quyidan
va
yuqoridan
chegaralanganligini bildiradi:
;
0
m
1
M
