195
3-misol.
n
da
3
5
2
3
n
n
ketma-ketlik 3/5 limitga ega bo’lishligini
ko’rsating.
Yechish. Agar berilgan ketma-ketlikni yoyib yozsak, u
;.........
3
5
2
3
....;
;.........
18
11
;
13
8
;
8
5
n
n
ko’rinishga ega bo’ladi.
5
3
,
3
5
2
3
a
n
n
a
n
)
n
(
n
n
a
a
n
3
5
5
1
5
3
3
5
2
3
Endi n ning qanday qiymatida
)
3
5
(
5
1
n
tengsizlik bajarilishligini
aniqlaymiz. Buning uchun oxirgi tengsizlikni n ga nisbatan yechamiz.
25
15
1
5
5
15
1
5
3
5
1
3
5
5
1
5
3
5
1
n
n
n
n
т
Demak,
25
15
1
n
bo’lganda
5
3
n
a
tengsizlik
bajariladi, ya’ni
5
3
3
5
2
3
lim
n
n
n
Bu yerda N (
) nomer sifatida
25
15
1
sonning butun qismi olinadi. Ya’ni .
25
15
1
)
(
N
Endi N(
) nomerni
ning aniq qiymatlarida hisoblaylik.
01
.
0
bo’lsin.
3
25
,
0
85
,
0
01
.
0
25
01
.
0
15
1
N
Demak,
3
n
bo’lganda
.
,
a
n
1
0
5
3
tengsizlik o’rinli.
001
,
0
bo’lsin.
;
,.
,
,
,
N
39
025
0
085
0
001
0
25
001
0
15
1
0001
,
0
bo’lganda
196
;
399
0025
.
0
9985
,
0
001
,
0
25
001
,
0
15
1
N
4-misol.
0
2
1
lim
n
n
bo’lishini isbotlang.
Yechish.
0
sonni olamiz va
n
2
1
tengsizlikni qaraymiz.
n natural son uchun
n
n
1
2
bo’lishligini e’tiborga olsak, u holda
n
n
1
1
2
1
bo’ladi. Demak,
n
2
1
tengsizlik o’rniga
n
n
1
1
1
tengsizlikni olish
mumkin.
Bunday holda
1
N
bo’ladi.
1
N
n
uchun
0
2
1
n
bo’ladi.
Bu esa
0
2
1
lim
n
n
bo’lishligini bildiradi.
Ta’rif. Limitga ega bo’lgan ketma-ketlik yaqinlashuvchi, limitga ega
bo’lmagan (limiti mavjud bo’lmagan) ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi.
Ketma-ketlik yaqinlashishligining geometrik ma’nosini tushuntiraylik.
Buning uchun nuqtaning atrofi tushunchasini kiritaylik.
Son to’g’ri chizig’ida ixtiyoriy
a
nuqtani olaylik. Son to’g’ri chiziqining
markazi
a
nuqtada bo’lgan istalgan oralig’iga
a
nuqtaning atrofi deyiladi.
а
а-ε a
n
a+ε x
97-расм
a
nuqta cheksiz ko’p intervallarning markazi bo’ladi. Shunday ekan
a
nuqtaning atrofi butun son to’g’ri chizig’ini ham o’z tarkibiga olishi mumkin.
Agar
a
a
n
n
lim
bo’lsa, u holda
a
nuqtaning
a
a
,
atrofi qanday
bo’lmasin shunday
bir N natural son mavjudki, n > N bo’lgan hollar uchun
n
a
ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari bu atrofga tegishli bo’ladi. Haqiqatan n > N
bo’lganda
a
a
n
tengsizlik
a
a
a
a
a
n
n
tengsizlikka teng kuchli. Bundan esa n >
N bo’lganda
n
a
ketma-ketlikning barcha hadlari (ya’ni ...
2
1
,
N
N
a
a
. hadlari)
a
nuqtaning
atrofi deb ataluvchi
a
a
,
intervalga tushadi.
197
Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi.
Funksiyaning uzluksizligi tushunchasidan “uzluksiz funksiya” atamasini
ishlatmasdan elementar funksiyalarning xossalarini o’rganishda va ularning
grafiklarini yasashda foydalandik. Masalan:
3
2
,
,
ax
y
ax
y
b
ax
y
va x.k. boshqa
funksiyalarning argument qiymatlariga mos keluvchi funksiya qiymatlarini
hisoblab nuqta usuli bilan ularning grafiklarini chizdik. Bu grafiklar uzluksiz yaxlit
chiziqlardan iborat bo’lishligiga ham ishonch hosil qildik.
Funksiyalar uzluksiz
bo’lganligi tufayli ham ularning grafiklari uzluksiz silliq chiziqlardan iborat
bo’ladi. Endi funksiyaning uzluksizligi tushunchasini mukammal o’rganamiz va bu
tushunchadan funksiyani tekshirishda foydalanamiz.
)
(
x
f
y
funksiya
b
a
;
oraliqda berilgan bo’lsin.
Ta’rif.
Agar
)
(
x
f
funksiya o’z aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan
0
x
x
nuqtada chekli limitga ega bo’lib, bu limit funksiyaning
0
x
nuqtadagi
)
(
0
x
f
qiymatiga teng bo’lsa, u holda
)
(
x
f
funksiya
0
x
x
nuqtada uzluksiz deyiladi va
quyidagicha yoziladi:
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
(1)
Bu ta’rifga ko’ra
)
(
x
f
funksiya
0
x
nuqtada uzluksiz bo’lishligi uchun
quyidagi uchta shart bajarilishi kerak ekan:
1)
)
(
x
f
funksiya
0
x
nuqtada aniqlangan bo’lishi kerak;
2)
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti mavjud bo’lishi kerak;
3)
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti uning
shu nuqtadagi qiymatiga
teng bo’lishi kerak.
Masalan,
3
)
(
x
x
f
funksiya barcha haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan
va
1
lim
3
1
x
x
198
Shuningdek ,
1
)
1
(
f
ya’ni funksiyaning
1
x
nuqtadagi qiymati
uning
1
x
dagi limitiga teng. Ta’rifga ko’ra
3
)
(
x
x
f
funksiya
1
x
nuqtada
uzluksiz.
Agar funksiyaning qaralayotgan nuqtadagi chap va o’ng limitlari
ta’riflaridan foydalansak, funksiyaning chapdan va o’ngdan uzluksizligini aniqlash
mumkin.
Agar
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
x
x
bo’lsa, u holda
)
(
x
f
funksiya
0
x
nuqtada chapdan
uzluksiz deyiladi, agar
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
x
x
0
0
0
bo’lsa, u holda
)
(
x
f
funksiya
0
x
nuqtada
o’ngdan uzluksiz deyiladi.
)
(
x
f
y
funksiya
0
x
x
nuqtada uzluksiz bo’lishligi
uchun uning
0
x
nuqtadagi chap va o’ng limitlari teng bo’lib, ular funksiyaning
0
x
x
nuqtadagi
qiymatiga teng, ya’ni
)
(
)
0
(
)
0
(
0
0
0
x
f
x
f
x
f
(2)
bo’lishi zarur va yetarli.
Endi funksiya nuqtadagi uzluksizligining amaliyot uchun juda qulay
bo’lgan ta’rifini keltiramiz. Buning uchun argument va funksiya orttirmalari
tushunchasini kiritamiz.
х
argumentning ikkita qiymatlari ayirmasiga uning orttirmasi deyiladi.
х
argumentning
х
orttirmasi orqali belgilasak ta’rifga ko’ra argumentning
0
x
nuqtadagi orttirmasi
0
х
х
х
ayirmaga teng bo’ldi.
)
(
x
f
y
funksiyaning
0
x
nuqtadagi argumentning
х
orttirmasiga mos
keluvchi
у
orttirmasi deb funksiyaning
х
х
х
0
va
0
x
x
nuqtalardagi
qiymatlari ayirmasiga aytiladi.
Bu ayirma
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
f
у
formula bo’yicha topiladi.
