Ta’rif. N natural sonlar to’plamida aniqlangan

186 
1. Analitik (formula) usul. Ketma-ketlikning n-hadi formula ko’rinishida beriladi. 
Ketma-ketlikning barcha qolgan hadlari bu formula bo’yicha hisoblanadi. Masalan, 
Yuqorida qaralgan (1)–(5) sonli ketma-ketliklarni mos ravishda quyidagi 
formulalar bilan berish mumkin:
1)
,
n
a
n

N
n

2)
,
1
2


n
a
n
N
n

3) 
,
a
a
n
n
2

N
n

4)
,
2
n
a
n

N
n

5)
),
n
(
b
a
n
2
2


N
n

)
90
(
0

d
6-misol. 
2
1
)
1
(
n
a
n



formula bilan berilgan ketma-ketlikni tuzaylik.
Berilgan formula bo’yicha ketma-ketlikning istalgan hadini hisoblash mumkin.
;
1
1
)
1
(
1
)
1
(
2
2
2
1
1
1






a
;
4
1
4
)
1
(
2
)
1
(
3
2
1
2
2







a
;
9
1
9
)
1
(
3
)
1
(
4
2
1
3
3






a
.
16
1
16
)
1
(
4
)
1
(
5
2
1
4
4







a
va k. x.
Berilgan ketma-ketlik 
;......
)
1
(
....;
;.........
16
1
;
9
1
;
4
1
;
1
2
1
n
n




ko’rinishga ega.
7-misol. 
;
)
2
1
(
3
1



n
a
)
(
N
n

formula bilan
;......
)
2
1
(
3
;........;
8
3
;
4
3
;
2
3
;
3
1


n
ketma-ketlik berilgan.
8-misol. 
7

n
a
,
N
n

bo’lsin. Bu formula bilan
7;7;7;....7;.... 
ketma-ketlik berilgan. Bu ketma-ketlikning barcha hadlari bir xil qiymat qabul 
qiladi.

187 
Agar ketma-ketlikning barcha hadlari o’zaro teng qiymatlar qabul qilsa, bunday 
ketma-ketlik o’zgarmas ketma-ketlik deyiladi.
2. Rekurrent usul. Bu usulning mazmuni quyidagicha:
a) ketma-ketlikning dastlabki birinchi yoki bir qancha birinchi hadlari berilgan 
bo’ladi;
b) ketma-ketlikning oldingi berilgan hadlari bo’yicha uning istalgan keyingi hadini 
topishga imkon beradigan formula beriladi.
Ketma-ketlikning bunday berilishiga doir misollar keltiraylik.
9-misol. 
d
a
a
n
n



1
(d-o’zgarmas son) rekurrent formula bilan 
a
a

1
bo’lganda 
arifmetik progressiya tashkil qiluvchi sonlar ketma-ketligi berilgan bo’ladi:
;.......
);
1
(
;......
2
;
;
dn
a
n
d
a
d
a
d
a
a





Ravshanki, 
a2
-
a1=a3-a2= ....=an+1-an=a+dn-a-dn+d=d
bo’ladi. SHuningdek bu ketma-ketlik
)
1
(



n
d
a
a
n
formula bilan ham beriladi.
10-misol.
q
b
b
n
n


1
(q-o’zgarmas) formula va 
b
b

1
boshlang’ich qiymat bilan 
geometrik progressiya tashkil qiluvchi sonlar ketma-ketligi berilgan bo’ladi: 
;
;.....
;
;
1
2

n
bq
bq
bq
b
;........
n
bq
Bu ketma-ketlik uchun 
q
bq
bq
b
b
b
b
b
b
b
b
n
n
n
n
n
n









1
1
1
2
3
1
2
......
teng kasrlar hosil bo’ladi. Bu teng kasrlardan tuzilgan hosila proportsiya uchun 
ham 
q
bq
bq
bq
b
b
bq
bq
bq
b
b
b
b
b
b
b
b
n
n
n
n
n
n




















1
2
3
2
1
2
1
1
3
2
...
...
..........
..........
bo’ladi.
11-misol. 
1
1




n
n
n
a
a
a
rekkurent formula va 
1
,
0
2
1


a
a
boshlang’ich qiymatlar 
bilan uchinchisidan boshlab har bir hadi undan oldingi turgan ikkita had 

188 
yig’indisiga teng bo’lgan ketma-ketlik berilgan bo’ladi. Agar rekurrent 
formuladagi n ga 1,2,3,4,5,6,... qiymatlarni bersak, bu ketma-ketlikning hadlarini 
topamiz.
: 
;
1
1
0
2
1
3





a
a
a
;
2
1
1
3
2
4





a
a
a
3
2
1
3
4
5





a
a
a
;
5
3
2
4
5
6





a
a
a
8
3
5
5
6
7





a
a
a
va x.k.
Shunday 
qilib, 
rekurrent 
formula 
bilan 
berilgan 
sonli 
ketma-ketlik 
0;1;1;2;3;5;8;13;21;... ko’rinishga ega bo’lib, Fibonachchi sonlari deb ataluvchi 
sonlardan tuzilgan ketma-ketlikni olamiz.
Sonli ketma-ketliklar grafik va jadval usullarida ham beriladi. Masalan,
 
n
a
ketma-ketlikning 
hadlari 
2
sonning ortig’i bilan olingan o’nli 
yaqinlashishlaridan iborat bo’lsa, bu ketma-ketlik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
;
2
1

a
;
5
,
1
2

a
;
42
,
1
3

a
......
;.........
415
,
1
4

a
Sonli qator va progressiya. 
 1-Ta’rif.
Agar n har qanday natural son bo’lganda 
 
n
a
ketma-ketlikning 
barcha hadlari uchun 
)
(
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a




tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
n
a
o’suvchi 
(qat’iy o’suvchi) ketma-ketlik deyiladi.
2-Ta’rif.
Agar n har qanday natural son 
 
n
a
bo’lganda ketma-ketlikning 
barcha hadlari uchun 
)
a
a
(
a
a
n
n
n
n




1
1
tengsizlik bajarilsa, u holda 
 
n
a
kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) ketma-ketlik deyiladi.
 
o’suvchi (qat’iy o’suvchi), kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) ketma-
ketliklar monoton ketma-ketliklar deyiladi.
1-misol. Umumiy hadi 
n
n
a
n
1


bo’lgan

189 
...
;.........
1
1
.;
;.........
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;
0
n

ketma-ketlik o’suvchi ekanligini ko’rsataylik.
Yechish. ,
n
n
a
n
1


1
1
1
1
1







n
n
n
)
n
(
a
n
Umumiy hadlarining farqini topamiz.
0
)
1
(
1
)
1
(
1
1
1
2
2
1













n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
Ayirma musbat bo’lganligi tufayli 
n
n
a
a


1
bo’ladi. Berilgan 





 
n
1
1
ketma-ketlik qat’iy o’suvchi ketma-ketlikdir. 1 dan kichik kasrlar o’suvchi sonli 
ketma-ketlik tashkil qiladi.
2-misol.





 
n
1
1
ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini ko’rsating.
Yechish. Berilgan ketma-ketlikni qoyib yozaylik.
;.....
1
2
;
1
;......;
3
4
;
2
3
;
2



n
n
n
n
1
2
,
1
1






n
n
a
n
n
a
n
n
0
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
2
2
1
1
2
2
2
1





















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
Demak, 
n
n
a
a


1
bo’lganligi tufayli 





 
n
1
1
ketma-ketlik qat’iy 
kamayuvchi ketma-ketlik bo’ladi. 1 dan katta kasrlar kamayuvchi sonli ketma-
ketlik tashkil qilar ekan.
3-misol.

190 






n
n
2
ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini ko’rsating.
Yechish.
1
1
2
1
,
2





n
n
n
n
n
a
n
a
umumiy hadlari ayirmasini topamiz. 
0
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1














n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
Demak, 
1
1
0






n
n
n
a
a
a
a
n
bo’lgani uchun berilgan






n
n
2
ketma-ketlik kamayuvchi bo’ladi.
4-misol.






2
1
n
ketma-ketlik kamayuvchi. Chunki barcha n uchun 
2
2
1
)
1
(
1
n
n


tengsizlik 
hamma vaqt bajariladi. Bu ketma-ketlikning hadlarini son o’qida tasvirlasak, 
1

n
a
hadga mos keluvchi nuqta 
n
a
hadga mos keluvchi nuqtaga nisbatan chaproqda 
joylashgan bo’ladi (96-rasm) 

Download 3,86 Mb.