222
Teskari teorema
.
Agar uchburchakning burchaklari o’zaro teng bo’lsa, u
holda bu burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi
.
Berilgan
:
Isbot qilish kerak
: BC=AB.
Isboti
. 1) BK tomon AB tomondan katta bo’la olmaydi,
aks holda avvalgi
isbot qilingan teoremaga ko’ra bo’lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir.
2) VS tomon AV tomondan kichik ham bo’la olmaydi, aks holda avvalgi
isbot
qilingan teoremaga ko’ra bo’lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir. Demak, VS =
AV
3. Teoremalarni isbotlash metodlari
Ta’rif.
Isbotlash — deduktiv xulosa chiqarish zanjiri,
dem
akdir.
Har qanday isbotlash jarayoni quyidagi uch qismni o’z ichiga oladi:
1.Teoremaning bayoni — isbot talab etiladigan holat.
2.Argumentlar — teoremani isbotlash jarayonida ishlatilgan matematik
hukmlar.
3.Isbotlash - deduktiv xulosa chiqarish orqali teorema xulosasida topish talab
qilingan noma’lumni uning shartlari hamda avaldan ma’lum bo’lgan
argumentlardan foydalanib keltirib chiqarish.
Teoremani isbotlashga kirish va uni isbotlash jarayonida o’qituvchi
yordamida o’quvchilar quyidagi mantiqiy ketma-ketlikka ega bo’lgan bosqichlami
bajarishlari kerak:
1)Teoremaning sharti va uning xulosasi nimadan iborat ekanligini to’la
tushunib olishlari kerak.
2)Ana shu teoremaning shart va xulosasida qatnashayotgan har bir matematik
tushunchaning ma’nosini bilishlari kerak.
3)Teoremaning shart va xulosa qismlarini
matematik simvollar orqali
ifodalashlari kerak.
223
4)Teoremaning shartida qatnashayotgan ma’lum parametrlar teorema
xulosasidagi noma’lumni aniqlay oladimi yoki yo’qmi buni bilishlari kerak.
5)Teoremani
isbotlash
jarayonida
teoremadagi
shartlardan
teorema
xulosasining to’g’riligini ko’rsatuvchi natijalar keltirib chiqarishi kerak.
6)Teoremani isbotlash jarayonidagi mantiqiy mulohazalarda teoremaning
shartidan to’la foydalanishlari kerak.
7)Teorema isbot qilib bo’lingach, isbotlashda qo’llanilgan metodni ko’zdan
kechirish va imkoni bo’lsa, isbotlashning boshqa usullarini qidirib topish kerak.
Maktab matematika kursidagi teoremalarni isbotlash
ikki usulda amalga
oshiriladi.
1)Bevosita isbotlash usuli (to’g’ri isbotlash usuli);
2)Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Bevosita isbotlash usuli jarayonida teoremaning shartida qatnashayotgan
ma’lum va parametrlardan hamda avaldan ma’lum bo’lgan aksioma, ta’rif va
teoremalardan foydalangan holda mantiqiy mulohaza yuritib,
teorema xulosasida
talab qilingan noma’lumlar topiladi. Teoremalami bunday isbotlash analiz va
sintez orqali amalga oshiriladi.
Ta’rif
.
Noma’lumlardan ma’lumlarga tomonga izlash metodi analiz deyiladi.
Psixologik olimlar analiz metodini quyidagicha ta’riflaydilar: analiz — bu
butunlardan bo’laklarga tomon izlash demakdir.
Ta’ri
f.
Ma’lumlardan noma’lumlarga tomon izlash metodiga sintez deyiladi.
Psixologik nuqtayi nazardan sintez metodi bo’laklardan butunlarga tomon
izlash metodi demakdir.
Fikrimiz dalili sifatida quyidagi teoremani analiz
va sintez metodlari orqali
isbotlaymiz.
Teorema. V nuqtada kesishuvchi
CD
va
EF
to’g’ri chiziqlar
a
tekislikda
yotadi va
CB
=
BD, EB
=
BF
.
a
tekislikda
yotmaydigan A nuqta
AE=EF
va
AC=AD
tengliklarni qanoatlantiradigan qilib tanlansa,
AB
to’g’ri chiziq
a
tekislikka perpendikular bo’ladi (38-chizma).
224
Berilgan: a tekislik,
(CD)A(EF)=B,
(
CB=BD)\{EB=BF
),
(AE=AF)K(AC=AD).
Isbot qilish kerak
:
AB
a
.
Is b o t i. Bu
teorema analiz metodi bilan
isbotlanadi.
1.
AB
a
ekanligini isbot qilish uchun
AB
CD
va
ABl
EF
ekanligini
isbot qilish yetarli.
2.
AB
CD
ekanligini isbot qilish uchun
ABC
=
ABD
ekanligini isbot
qilish yetarli.
chizma.
3.Bu burchaklarning tengligini isbot qilish uchun
ABC= ABD
ekanligini
isbot qilish yetarli,
lekin
BC=BD, AC=AD, AB
=
AB
shuning uchun
ABC= ABD
.
4.
AB
EF
ekanligini isbot qilish uchun
ABE=
ABF
ekanligini isbot qilish
yetarli.
5.Bu burchaklarning tengligini isbot qilish uchun
ABE= ABF
ekanligini
isbot qilish yetarli, lekin
BE—BF, AE=AF, AB=AB,
shuning uchun
ABE= ABF
,
bundan
AB
a
. ekanligi kelib chiqadi.
Isbotning sintez usuli 1.
2.
4.
5. (2) va (4) ga ko'ra
AB
CD
va
AB
EF.
6.
(5) ga ko‘ra
AB
a.
