) ∠ AOD = ∠ BOD shartga ko‘ra;  2)

137
9.

AOB
burchak ichida 
N
nuqta olingan. Agar 
AN=BN
, 
OA
⊥
AN
va 
OB
⊥
BN
bo‘lsa, 
N
nuqta 
AOB
burchak 
bissektrisasida yotishini isbotlang.
10*
.
7-rasmda katakli qog‘ozga chizilgan burchakning 
bir qismi tasvirlangan. Qog‘ozning burchak uchi 
joylashgan qismi yirtilib ketgan. 
A
va 
B
nuqtalar 
bur chak tomonlaridan teng uzoqlashgani ma’lum. 
Burchak bissektrisasini qanday yasash mumkin.
11.
8-rasmda tasvirlangan beshburchak burchaklari 
yig‘indisini toping.
12. 
9-rasmda tasvirlangan kub sirtida joylashgan uch
-
burchakning raqamlangan burchaklari yig‘indisini 
toping.
13.
 
ABC
to‘g‘ri burchakli uchburchakda
C
 
to‘g‘ri bur
-
chak va 
AB
=12 va
CD
=
DB
bo‘lsa,
 CD
ni toping 
(10-rasm)
.
14
. To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga 
tushirilgan medianasi 8 
cm
. Agar uchburchakning 
bir burchagi 60° ga teng bo‘lsa, bu burchakka yo
-
pishgan tomonlarni toping.
15*. 
Uchburchakning ikkita bissektrisasi kesishgan 
nuqta uchburchak uchala tomonidan teng uzoqlikda 
bo‘lishini isbotlang.
16*. 
Teng yonli 
ABC
va 
A
1
B
1
C
1
uchburchaklarning 
AC
va 
A
1
C
1
asoslari va asoslarga tushirilgan 
BD
va 
B
1
D
1
balandliklari teng. 
∆
ABC
 
= 
∆
A
1
B
1
C
1
tenglikni 
isbotlang.
17*
. 
Teng yonli 
ABC
uchburchakda 
AC
asos va 
AD 
hamda 
BE
balandliklar 50° li burchak ostida kesi-
shadi. Uchburchakning burchaklarini toping.
18*. 
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bittadan ka
-
teti va gipotenuzaga tushirilgan balandligi bo‘yicha 
tengligini isbotlang.
19*
. 
To‘g‘ri burchakli uchburchaklarning bittadan kateti 
va gipotenuzaga tushirilgan bissektrisasi bo‘yicha 
tengligini isbotlang. Ma’lumki, matematik jumla aniq, 
yetarlicha to‘la va shu bilan birga qisqa, ortiqcha 
so‘zlarsiz bo‘lishi lozim. Quyidagi jumlalardagi or
-
tiqcha so‘zlarni aniqlab ko‘ring-chi?
Geometriyada aniqlik va qisqalik
1. To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikki o‘tkir burchak
-
lari yig‘indisi 90° ga teng.
2. Agar to‘g‘ri burchakli uchburchakda katet gipotenuzaning yarmiga teng bo‘lsa, uning 
qarshisida yotuvchi o‘tkir burchak 30° ga teng bo‘ladi.
3. Eng kam tomonli ko‘pburchak: a) aylana markazidan o‘tuvchi vatar; b) asosi yon tomo
-
niga teng bo‘lgan teng yonli uchburchak.
8
9
10
A
C
B
D
B
A
7

138
21
??
?
?
Teorema.
 
Uchburchakning katta tomoni qarshisida katta burchak yotadi.
∆
ABC
,
AB
> 
AC
(1-rasm)
∠
C
> 
∠
B
Isbot.
AB
 
kesmani chizamiz va unga 
AC
tomonga teng 
AD
kesmani qo‘yamiz.
AB>AD
bo‘lgani uchun 
D
nuqta 
AB
kesmaga tegishli 
bo‘ladi. Demak, 
CD
kesma 
C
burchakning ichki 
sohasida yotadi va 
C
burchakni ikki burchakka 
ajratadi.
 
Shunga ko‘ra
, 
∠
C 
> 
∠
1.
ACD
uchburchakni teng yonli qilib yasaganimiz 
uchun 
∠
1 =
 
∠
2
.
 
∠
2 
CDB
uchburchakning tashqi burchagi bo‘lgani uchun 
∠
2
 
>
∠
B
.
Bu ajratib ko‘rsatilgan uchta munosabatdan
 
∠
C
> 
∠
1 = 
∠
2 
> 
∠
B
, ya’ni 
∠
C
> 
∠
B
ekanini hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
Shuningdek, bu teoremaga teskari teorema ham o‘rinli.
?
?
?
?
Teskari teorema.
 Uchburchakning katta burchagi qarshisida katta tomon 
yotadi.
Bu teoremaning isbotini mustaqil bajaring. 
1­natija.
Teng yonli uchburchakda teng 
tomonlar qarshisida teng burchaklar yotadi.
Uning to‘g‘riligini oldin ham isbotlagan edik.
1-masala.
2-rasmda berilgan ma’lumotlardan 
foydalanib 
∠
1 > 
∠
3
ekanini isbotlang.
Yechish.
∠
2 > 
∠
3 ekanligi ravshan, chunki 
∠
2 
BDC
uchburchakning tashqi burchagi bo‘lib, tash qi 
burchak xossasiga ko‘ra, 
∠
2 = 
∠
3 + 
∠
4 va 
∠
4 > 0. 
ACD
teng yonli uchburchak bo‘lgani uchun
∠
1 = 
∠
2. Demak, 
∠
1 >
∠
3 bo‘ladi.

2-masala.
3-rasmda berilganlardan foydalanib 
AB 
< 
AC
ekanini ko‘rsating.
Yechish.
BDC
– teng yonli uchburchak (chunki 
BD 
= 
DC
). Demak, 
∠
1 = 
∠
2 bo‘ladi.
∠
1 < 
∠
ABC
bo‘lgani uchun 
∠
2 < 
∠
ABC
.
Katta burchak qarshi
-
sida katta tomon yotgani uchun 
AB 
< 
AC
bo‘ladi.
1
A
B
D
C
1
2
2
A
B
D
C
1
2
3
4
3
A
B
D
C
1
2
21.1. Uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar
UCHBURCHAKNING TOMONLARI VA 
BURCHAKLARI ORASIDAGI MUNOSABATLAR

139
21.2. Uchburchak tengsizligi
Uchburchakning istalgan bir tomoni qolgan ikki tomoni yig‘indisidan kichik.
?
?
?
?
∆
ABC
(1-rasm)
AC <
AB + BC
Isbot.
AB
to‘g‘ri chiziqqa 
BC
kesmaga teng 
BD
kesmani qo‘yamiz va 
C
va 
D
nuqtalarni 
tutashtiramiz 
(5-rasm)
. Natijada 
BCD
teng yonli uchburchak hosil bo‘ladi. Unda 
∠
1 = 
∠
2, 
chunki 
BC
= 
BD
. Shakldan ravshanki, 
∠
ACD
> 
∠
1.
U holda
 
∠
ACD
> 
∠
2
, chunki 
∠
1 = 
∠
2. 
Bu burchaklar 
ACD
uchburchakka tegishli. 
Endi katta burchak qarshisida katta tomon 
yotishini hisobga olsak, 
AC
< AD
tengsizlikka 
ega bo‘lamiz. U holda 
AC
< AB
+ 
BD,
chunki
AD
= 
AB
+ 
BD
.
Undan
BD=BC
ekanini hisobga 
olsak, 
AC
< AB
+ 
BC
ni hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
 
2­natija.
Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta – 
A
, 
B

Download 53,35 Mb.