1.2. MATEMATIK MAYATNIK VA UNI HARAKAT TENGLAMASI
Garmonik tebranishlar va ularni tavsiflovchi fizik kattaliklar bilan
yuqoridagi mavzuda tanishib chiqdik. Endi garmonik tebranma harakatlarga
misol tariqasida mayatnik deb ataluvchi sistema harakatini qarab chiqamiz.
Mayatnik deganda qo’yilgan kuch ta’sirida qo’zg’almas o’q yoki
muvozanat holatiga nisbatan tebranayotgan sistemalar tushuniladi.
Matematik mayatnik – bu matematik abstraksiyadir.
Cho’zilmaydigan uzun, cho’zilmas, “vaznsiz” ip va unga osilgan jismdan
iborat sistemaga
matematik mayatnik
deb ataladi. Bu sistema matematik
mayatnik bo’lishi uchun qattiq jism o’lchamlari ip o’lchamlaridan bir necha
marta kichik, massasi ip massasidan ancha marta katta, ya’ni sistemaning massa
markazi B qattiq jismning massa markazi bilan mos tushishi kerak (81-rasm).
81-rasm
81-rasmdan matematik mayatnikka muvozanat holatda va muvozanat
holatidan chiqarilganda unga ta’sir qiluvchi kuchlarni qarab chiqamiz.
Sistema muvozanat holatda turganda sharga ta’sir qiluvchi og’irlik
kuchi
𝑃 = 𝑚𝑔
ipning taranglik kuchi
𝑇
ga teng bo’lib,
natijaviy kuch nolga
tengdir:
𝐹 = 𝑃 + 𝑇 = 0
Agar sistemani muvozanat holatidan chetga chiqarsak, ya’ni
burchakka og’dirsak, og’irlik
𝑃
va taranglik
𝑇
kuchlarining teng ta’sir
etuvchisi hosil bo’lib, sistemani muvozanat holatga qaytarishga harakat
qiladi. Agar shar qo’yib yuborilsa, u holatga
qaytadi va inersiya bilan
harakatini davom ettirib, ikkinchi tomonga og’adi. Agar shar harakatiga
havoning qarshilik kuchini va ip osilgan nuqtadagi ishqalanish kuchini
hisobga olmasak, ya’ni sharning
BB’
yoy bo’yicha
harakatida energiya
yo’qolishi bo’lmaydi, deb qarasak, shar chap tomonga ham
burchakka
og’adi. Bunda yana sharni muvozanatga qaytaruvchi kuch paydo bo’ladi.
Shar yana inersiyasi bilan muvozanat holatdan chiqib
B’
nuqtaga keladi
va hokazo. Mayatnik xuddi shunday muvozanat
vaziyati atrofida tebrana
boshlaydi. Mayatnik og’irlik kuchi
𝑃
va ipning taranglik kuchi
𝑇
yotgan
tekislikda tebranadi.
Matematik mayatnik uchun aylanma harakat dinamikasining asosiy
tenglamasi
dt
d
I
I
M
(1)
Formulani qo’llaymiz.
Aylanish nuqtasiga nisbatan kuch momenti:
𝑀 = 𝐹
𝑙 = 𝑚
𝑔
𝑙
𝑠𝑖𝑛
(2)
Bunda
𝑙
– matematik mayatnik uzunligi.
𝑚
massali moddiy nuqtaning aylanish nuqtasiga nisbatan inersiya
momenti:
𝐼 = 𝑚
𝑙
2
(3)
(2) va (3) ni (1) ga qo’ysak,
dt
d
l
g
dt
d
2
sin
(4)
Og’irlik kuchi hosil qilayotgan burchak tezlanish burchak og’ishiga
teskari bo’lganligi uchun minus ishora bilan olinadi. (4) tenglamaning yechimi
(t)
ni
topish murakkabdir, shuning uchun
ni juda kichik deb hisoblaymiz.
Bunda
sin
ni
orqali almashtirilsa bo’ladi:
dt
d
l
g
2
(4a)
Bu tenglamadan ko’rinadiki,
vaqtning shunday funksiyasi bo’lishi
kerakki, bu funksiyadan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli differensiali
funksiyani o’zini
l
g
doimiylikka ko’paytmasiag teng bo’lishi kerak.
Matematikadan ma’lumki, garmonik funksiyalar – sinus va kosinus
shunday xususiyatga ega. Misol uchun,
mayatnik tebranganda
burchak vaqt
o’tishi bilan garmonik qonun bo’yicha o’zgarsin, ya’ni:
t
cos
0
(5)
0
–
tebranish amplitudasi,
= 2
- siklik chastota.
Har qanday garmonik funksiya ham (4a) tenglamani qanoatlantirmay,
faqat
2
=
l
g
bo’lsagina, funksiya (4a) tenglamani qanoatlantiradi.
Haqiqatan ham (4a) o’rniga
dt
d
2
2
(6)
ni yozib, (5) tenglamani e’tiborga olsak, (6) tenglama ayniyatga
aylanadi.
Ta’kidlaganimizdek, sistemaning og’ish burchagi kichik bo’lsa, ya’ni
BB’
yoy uzunligi vatar uzunligiga teng deb olish mumkin bo’lsa,
sin
=
l
x
ni ikki marta vaqt bo’yicha differensiallasak,
dt
d
dt
x
d
l
2
2
2
1
bo’ladi, uni (6)
bilan taqqoslab
x
dt
x
d
2
2
2
(7)
ni hosil qilamiz.
(4) va (7) ikkinchi tartibli differensial tenglamalar matematik
mayatnikning
