8
Qaralayotgan f{x) funksiya X
0
nuqta atrofida n + I —tartibli hosilaga ega bo'lsin
deb talab qilamiz
va yangi
funksiyani kiritamiz.
Ravshanki,
Ushbu
funksiyalarga Koshi
teoremasini tatbiq qilamiz Bunda
e’tiborga olib,
quyidagini topamiz:
bu yerda
Shunday qilib, biz
ekanligini ko'rsatdik, bu yerda
ekanligini e’tiborga olsak
quyidagi formulaga ega bo'lamiz:
Bu (8) formulani Teylor formulasimng Lagranj
ко rinishidagi qoldiq hadi deb
ataladi.
Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni
9
ко rinishdaham yozish mumkin, buyerda Shunday qilib, fix') funksiyanmg Lagranj ko'rinishidagi
qoldiq hadli Teylor
formulasi quyidagi shaklda yoziladi:
Agar X
0
= O bo'lsa, u holda
bu yerda
bo lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
shaklida yoziladi.
Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng
sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning
x
0
nuqtadagi
qiymatini
hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo
bo‘ladi.
Nuqtada
differensiallanuvchi
funksiya
ta’rifiga
ko‘ra,
agar
y=f(x)
funksiya
x
0
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu
nuqtadagi orttirmasini
ya’ni
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha
aytganda
x
0
nuqtada differensiallanuvchi
y=f(x)
funksiya
uchun
birinchi darajali
ko‘phad mavjud bo‘lib,
da
bo‘ladi. Shuningdek,
bu ko‘phad
shartlarni ham qanoatlantiradi.
10
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar
nuqtaning biror atrofida
aniqlangan
funksiya
shu nuqtada
hosilalarga
ega bo‘lsa, u holda
shartni qanoatlantiradigan darajasi
n
dan katta bo‘lmagan
ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan
koeffitsientlarni topishda
shartlardan foydalanamiz. Avval
P
n
(x)
ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida
olingan
tengliklar
va
(3)
tenglikning
har
ikkala
tomoniga
x
o‘rniga
x
0
ni qo‘yib barcha
koeffitsientlar qiymatlarini
topamiz:
Bulardan
ho
sil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va
11
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad
Teylor ko‘phadi
deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va
Teylor ko‘phadi ayirmasini
orqali belgilaymiz:
.
(4)
shartlardan
bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi
ya’ni
ekanligini
ko‘rsatamiz. Agar
bo‘lsa,
ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik
ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini
n
marta tatbiq qilamiz. U holda
, demak
da
o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
