170
1-masala.
Qo‘shni burchaklardan birining bissektrisasi ikkinchi burchakning
tomonlaridan biri bilan 20° li burchak hosil qiladi. Shu burchaklarni toping.
Yechilishi.
Masala shartini chizmada tas
-
virlaymiz
(3-rasm)
. Bundan
OE
bissektrisa o‘tkir
bur chakning bissektrisasi ekanligi ma’lum bo‘ladi.
Demak,
∠
BOC
= 2
⋅
20° = 40°,
∠
AOB
= 180°– 40°=140°
bo‘ladi.
2-masala.
ABC
to‘g‘ri burchakli uchbur-
chakda
∠
C
– to‘g‘ri burchak,
A
uchidagi tashqi
burchak 120° ga teng. Agar
AC+AB
=
18
cm
bo‘lsa, uchburchakning gipotenuzasini toping.
Yechilishi.
Masala shartiga binoan chizmani tasvirlaymiz
(4-rasm)
. Uchburchak tash qi
burchagining ta’rifidan
∠
A
=180°–120°=60°,
∠
B
=90°–
∠
A
=30° ekanini aniqlaymiz
.
AC
=
b,
AB
=
c
bo‘lsin. U holda
b
+
c
=18. O‘tkir burchagi 30° ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uch
-
burchakning xossasiga ko‘ra,
c
=
2
b
bo‘ladi. Bundan
b+c=b+2b
= 18
,
ya’ni
b
=6. Unda
c
=12 ekanligi
ma’lum bo‘ladi.
Javob:
12.
3-masala.
ABC
uchburchakda
AB
= 1,
A
burchakning bissektrisasi
B
uchdan tushirilgan
medianaga perpendikulyar. Agar
BC
tomonning
uzunligi butun son bilan ifodalansa, uchburchak
-
ning perimetrini toping.
Yechilishi.
Masala shartini chizmada tasvir
-
laymiz
(5-rasm)
:
AK=KC
.
AN
⊥
BK
.
∆ANB
=
∆ANK
ekanini
aniqlaymiz, chunki
AN
katet umumiy va bittadan
burchaklari teng (katet va unga yopishgan o‘tkir
burchak bo‘yicha). Bundan esa
AB=AK=KC=
1,
ya’ni
AC
=
1+1=2
ekanligi ma’lum bo‘ladi.
BC=x
–
butun son, uchburchak tengsizligiga
ko‘ra, 2+1
>
x
va
x
+
1
>
2
yoki
x
<
3
va
x
>
1
,
ya’ni 1
<
x
< 3
bo‘lishi kerak. 1 bilan 3 ning orasida
bitta butun son bor: 2.
Demak.
BC
=2 va
P
ABC
= 1+2+2=5.
Javob:
5
3
A
O
C
E
B
20°
4
A
C
B
60°
30°
120°
b
c
25.3. Isbotlashga doir masalalar
Isbotlashga doir masalalar o‘ziga xos kichkina teoremalardir. Ularni yechish
masalada keltirilgan tasdiqni isbotlashdan iborat bo‘ladi. Misol tariqasida quyidagi
masalalarga qaraylik.
5
A
C
B
N
K
171
1-masala.
Qo‘shni burchaklarning bissektrisalari o‘zaro perpendikulyar ekanini
isbotlang.
Isboti.
OO
1
va
OO
2
bissektrisalar ajratgan
burchaklarni mos ravishda (1-rasmda tasvirlangandek)
α
va
β
deb belgilaymiz. U holda 2
α
+
2
β
=
180° yoki
α+β
=
90°, ya’ni
∠
O
1
OO
2
=
α+β
=
90°.
Demak,
OO
1
⊥
OO
2
. Shuni isbotlash talab qilingan edi.
2-masala.
7a-rasmda tasvirlangan
ABCD
to‘rtburchakda
∠
D =
∠
A+
∠
B+
∠
C
ekanini
isbotlang.
Isboti.
AD
to‘g‘ri chiziqning
BC
tomon bilan
kesishgan nuqtasini
E
bilan belgilaymiz
(
AD
tomonni
davom ettiramiz) va burchaklar uchun zarur belgilashlarni
kiritamiz
(7b-rasm)
. Ma’lumki,
α+β+x
=
180° va
y+z+γ
=
180°. Bu tengliklarni qo‘shib,
α+β+γ+x+y+z
=
360
°
tenglikka ega bo‘lamiz. Qo‘shni burchakning xossasiga
ko‘ra,
x+y
=
180° bo‘lgani uchun
α+β+γ
+
180°
+
z
=
360°
yoki
α+β+γ
=
180°
–
z
=
∠
D
, ya’ni:
∠
D=α+β+γ=
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
bo‘ladi.
Tenglik isbotlandi.
Yuqoridagi ikki masalani tayyor chizmaga tayanib
ishladik, 2-masalada qo‘shimcha yasash va zarur
belgilashlarni amalga oshirdik, bu esa masalani oson
yechishimizga yordam berdi.
∠
AOC
va
∠
BOC
–
qo‘shni burchaklar,
OO
1
va
OO
2
– bissektrisalar
(6-rasm)
OO
1
⊥
OO
2
.
7
B
A
C
D
B
A
C
D
E
α
β
x
y
z
γ
a)
b)
6
B
A
O
O
2
O
1
C
α
α
β
β
1.
AB
kesma uzunliklari 1: 2 : 3 : 4 kabi nisbatdagi kesmalarga (shu ketma-ketlikda) ajra
-
tilgan. Agar chetki kesmalarning o‘rtalari orasidagi masofa 15
cm
ga teng bo‘lsa,
AB
kesmaning uzunligini toping.
2.
∠
ABC
= 160° bo‘lgan burchakning uchidan shu burchak tomonlari orasida yotuvchi
BO
va
BE
nurlar chiqarilgan. Agar
BO
nur berilgan burchakni teng ikkiga,
BE
nur esa 3: 5
kabi nisbatda bo‘lsa,
OBE
burchakni toping.
3.
AOB
burchak
OC
nur orqali biri ikkinchisidan 30° ga katta bo‘lgan ikkita burchakka
ajratilgan. Berilgan burchak bissektrisasi bilan
OC
nur orasidagi burchakni toping.
4.
Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi 30° ga teng. Shu uchburchakning yon
tomoni va ikkinchi yon tomoniga tushirilgan balandligi orasidagi burchakni toping.
?
?
?
?
Amaliy mashq va tatbiq
172
8
A
C
B
D
E
F
O
9
B
C
A
D
x
α
α
10
B
C
A
D
21°
x
12.
Agar 10-rasmda
AB=AC, BD=BC
bo‘lsa,
x
ni toping.
13.
Uchburchakning bir burchagi o‘ziga qo‘shni bo‘lmagan tashqi burchaklarning ayirmasiga
teng. Bu uchburchakning to‘g‘ri burchakli uchburchak ekanini isbotlang.
14
.
Bir burchagi 150° bo‘lgan teng yonli uchburchakning asosidagi uchlaridan tushirilgan
balandliklari teng bo‘lishini isbotlang.
15.
Teng tomonli uchburchakning medianalari kesishish nuqtasida 2 :1 nisbatda bo‘linishini
isbotlang.
16.
Teng yonli uchburchakning uchidagi tashqi burchagi bissektrisasi uchburchak asosiga
parallel bo‘lishini isbotlang.
17.
16-masalaga teskari teoremani ifodalang va uni isbotlang.
18.
Teng tomonli uchburchakning ixtiyoriy ikkita medianasi 60° li burchak ostida kesishi-
shini isbotlang.
19*.
Uchburchaklarning tengligini ularning ikki tomoni va uchinchi tomonga tushirilgan
medianasi bo‘yicha isbotlang.
20*.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklarda
BM
va
B
1
M
1
medianalar o‘tkazilgan. Agar
AB
=
A
1
B
1
,
AC
=
A
1
C
1
va
BM
=
B
1
M
1
bo‘lsa,
∆
ABC
=
∆
A
1
B
1
C
1
ekanini isbotlang.
21*.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklarda
AD
,
A
1
D
1
– bissektrisalar. Agar
AB
=
A
1
B
1
,
BD
=
B
1
D
1
va
AD
=
A
1
D
1
bo‘lsa,
∆
ABC
=
∆
A
1
B
1
C
1
ekanini ko‘rsating.
22.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklarda
BH
va
B
1
H
1
balandliklar o‘tkazilgan. Agar
∠
A
=
∠
A
1
,
∠
B
=
∠
B
1
va
BH
=
B
1
H
1
bo‘lsa,
∆ABC
=
∆A
1
B
1
C
1
bo‘lishini isbotlang.
5.
Uchburchakning bir tashqi burchagi 100°, unga qo‘shni bo‘lmagan burchaklar nisbati
2:3 kabi. Uchburchakning burchaklarini toping.
6.
A
,
B
,
C
,
D
nuqtalar ko‘rsatilgan tartibda bir to‘g‘ri chiziqda yotadi va
AB
=
BC
= 1,
CD
= 2.
K
nuqta
BC
kesmada shunday joylashganki, u
BC
va
AD
kesmalarni bir xil nisbatdagi
bo‘laklarga bo‘ladi:
BK
:
KC
=
AK
:
KD
. Bu nisbatlarni toping.
7.
Uchburchak ikkita burchagining bissektrisalari kesishgandan hosil bo‘lgan burchak
128° ga teng. Uchburchakning uchinchi burchagini toping.
8
.
Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi 96° ga teng. Asosidagi burchaklarning
bissektrisalari kesishishidan hosil bo‘lgan o‘tkir burchakni toping.
9.
To‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagidan bissektrisa va balandlik chiqarilgan
bo‘lib, ular orasidagi burchak 24° ga teng. Uchburchakning qolgan burchaklarini toping.
10.
Agar 8-rasmda
AB
=
BC
,
∠
ABC
= 50°,
AE
va
FC
bissektrisalar bo‘lsa,
AOB
,
EOC
burchaklarni toping.
11.
Agar 9-rasmda
AB=AC, AD=DC
bo‘lsa,
x
ni toping.
173
23*.
Uchburchakning ikkita balandligi teng bo‘lsa,
uning teng yonli uchburchak ekanini isbotlang.
24*.
11-rasmda
α
+
γ
=
β
+
δ
= 90° ekanini isbotlang.
|
