AB
=
A
1
B
1
,
BC
=
B
1
C
1
,
CA
=
C
1
A
1
1
A
B
C
A
1
C
1
B
1
∆
ABC
=
∆
A
1
B
1
C
1
:
∠
BAC
=
∠
B
1
A
1
C
1
,
∠
ABC
=
∠
A
1
B
1
C
1
,
∠
ACB
=
∠
A
1
C
1
B
1
uchta mos tomonlar teng
uchta mos burchaklar teng
80
Teorema.
(Uchburchaklar tengligining TBT alomati)
Agar bir uchbur-
chakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi ikkinchi uchburchakning ikki tomoni
va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar o‘zaro
teng bo‘ladi
(2-rasm).
?
?
?
?
Isbot.
∠
BAC
=
∠
B
1
A
1
C
1
bo‘lgani uchun
ABC
uchburchakni
A
1
B
1
C
1
uchburchakka shunday qo‘yish
mumkinki, unda
A
uch
A
1
uchga,
AB
va
AC
nurlar
esa mos ravishda
A
1
B
1
va
A
1
C
1
nurlar ustiga tushadi.
AB
=
A
1
B
1
va
AC
=
A
1
C
1
bo‘lgani uchun
AB
tomon
A
1
B
1
tomon bilan,
AC
tomon esa
A
1
C
1
tomon bilan
ustma-ust tushadi. Xususan,
B
nuqta
B
1
nuqta
bilan,
C
nuqta esa
C
1
nuqta bilan ustma-ust tushadi.
Unda
B
1
C
1
va
BC
tomonlar ham ustma-ust tushadi.
Natijada
ABC
uchburchakning uchta uchi (tomoni)
A
1
B
1
C
1
uchburchakning uchta uchi (tomoni) bilan mos
ravishda ustma-ust tushadi.
Demak,
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklar o‘zaro
teng.
Teorema isbotlandi.
Masala.
3-rasmda berilganlardan foydalanib
BC
kesmani toping.
Yechish.
ADB
va
CDB
uchburchaklarga
qaraymiz. Shartga ko‘ra, bu uchburchaklar uchun
AD
=
DC
,
∠
ADB
=
∠
CDB
.
BD
esa umumiy tomon.
Demak,
ADB
uchburchakning ikki tomoni va ular
orasidagi burchagi
CDB
uchburchakning ikki tomoni
va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng ekan.
Unda uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra,
∆
ADB
=
∆
CDB
.
Xususan,
CB
=
AB
=
12 bo‘ladi.
Javob:
12.
∆
ABC
va
∆
A
1
B
1
C
1
AB
=
A
1
B
1
,
AC
=
A
1
C
1
,
∠
BAC
=
∠
B
1
A
1
C
1
∆
ABC
=
∆
A
1
B
1
C
1
2
A
B
C
A
1
B
1
C
3
B
A
C
D
12
?
?
?
?
Mavzuga doir savollar
1. Qanday uchburchaklar teng deyiladi?
2. TBT alomatga ko‘ra, uchburchaklar tengligi qanday elementlarini taqqoslash
orqali aniqlanadi?
3. Uchburchaklar tengligining TBT alomatini izohlang.
81
1.
∆
ABC
=
∆
DEF
. Bu uchburchaklarning mos uchlari,
tomonlari va burchaklarini aniqlab yozing.
2.
MNL
va
RST
uchburchaklar teng. Bu uchburchak-
larning mos uchlari, tomonlari va burchaklarini
aniqlab yozing.
3.
Agar
∆
ABC
=
∆BAC
ekanligi ma’lum bo‘lsa,
ABC
uchburchakning qaysi tomonlari teng bo‘ladi?
4.
∆MNL
=
∆LMN. MNL
uchburchakning qaysi
burchaklari teng bo‘ladi?
5.
∆
ABC
=
∆
DEF
. Agar
∠
A
=
52
°,
∠
E
=
80
°
va
∠
C
=
48
°
bo‘lsa, bu uchburchaklarning qolgan burchaklarini
toping.
6
.
∆
ABC
=
∆
LMN
. Agar
AB
=
5,
MN
=
8
va
AC
=
9
bo‘lsa, bu uchburchaklarning qolgan tomonlarini
toping.
7.
4-rasmdan noma’lum kesma –
x
ni toping.
8.
Agar 5-rasmda
∠
CAB
=
∠
ABD
bo‘lsa,
AD=BC
ekanini isbotlang.
9.
6-rasmda
∠
BAE
=
∠
BCD
ekanini isbotlang.
10.
7-rasmda ∆
ABC
= ∆
CDA
ekanini isbotlang.
11.
8-rasmda
∆
ABC
=
∆
ABD
bo‘lishini isbotlang.
12.
AD
va
BC
kesmalar
O
nuqtada kesishadi va bu
nuqtada teng ikkiga bo‘linadi
(9-rasm)
.
a)
∆
AOB
=
∆
DOC
; b)
BD
=
AC
; c)
∆
ABD
=
∆
DCA;
d)
∠
OAB
= 35
°
,
∠
OBA
=
62
°
bo‘lsa,
∠
ODC
va
∠
DCO
ni toping.
13.
10-rasmdagi noma’lum burchak –
x
ni toping
.
14.
Bir uchburchak perimetri ikkinchi uchburchak
perimetriga teng. Bu uchburchaklar teng bo‘ladimi?
15.
Bir uchburchak perimetri ikkinchi uchburchak
perimetridan katta. Bu uchburchaklar teng bo‘ladimi?
16.
ABC
uchburchakning
AB
tomonida
D
nuqta,
A
1
B
1
C
1
uchburchakning
A
1
B
1
tomonida
D
1
nuqta olingan.
∆
ADC
=
∆
A
1
D
1
C
1
va
BD
=
B
1
D
1
tengliklar ma’lum.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
uchburchaklar tengligini isbotlang.
?
?
?
?
Amaliy topshiriqlar va tatbiq
4
5
x
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
O
E
7
A
B
C
D
8
B
C
D
A
O
9
A
B
C
D
O
10
85°
x
82
Isbot.
ABC
uchburchakning
A
uchidan
AL
bissektrisani tushiramiz
(3-rasm)
.
ABL
va
ACL
uchburchaklarga qaraymiz. Ularda
AL
tomon umumiy. Ikkinchidan, teorema shartiga
ko‘ra,
AB = AC
(
∆ABC
– teng yonli). Uchinchidan
esa
∠
1
=
∠
2, chunki yasashga ko‘ra
AL
– bissektrisa.
Demak,
ABL
uchburchakning ikki tomoni va ular
orasidagi burchagi
ACL
uchburchakning ikki tomoni
va ular orasidagi burchagiga mos ravishda teng ekan.
Unda uchburchaklar tengligining TBT alomatiga ko‘ra,
∆ABL=∆ACL
bo‘ladi.
Xususan, bu uchburchaklarning mos burchaklari
sifatida
∠
B
=
∠
C
bo‘ladi.
Teorema isbotlandi.
Teorema.
Teng yonli uchburchakning
asosidagi burchaklari teng.
?
?
?
?
Chizg‘ich yordamida ixtiyoriy teng yonli uchburchak
chizing. Uning asosiga yopishgan burchaklarini o‘lchang
va solishtiring. Bu ishni yana 2–3 ta boshqa teng yonli
uchburchaklar uchun qaytaring va o‘z taxminingizni
tasdiq ko‘rinishida ifodalang. “Tajriba natijasida topilgan
bu xossa barcha teng yonli uchburchaklar uchun ham
o‘rinli bo‘ladi” deb aytish mumkinmi?
∆
ABC
,
AB
=
AC
(3-rasm)
∠
B
=
∠
C
2-rasmdagi uchburchaklarning qaysilari teng yonli?
Ularning uchi, asosi va yon tomonlarini ayting.
C
B
A
D
F
E
M
K
N
H
R
S
3
2
A
B
C
1 2
L
a)
b)
c)
d)
Ikkita tomoni teng bo‘lgan uchburchakni
teng yonli
uchburchak
deb atagan edik
(1-rasm)
. Teng yonli
uchburchakning teng tomonlari uning
yon tomonlari
,
uchinchi tomoni esa
asosi,
asosi qarshisida yotgan
uchi esa teng yonli uchburchakning
uchi
deb ataladi.
1
ABC
–
teng yonli uchburchak
AB, BC
–
yon tomonlari
AC
–
asosi
B
–
uchi
A
C
B
C
TENG YONLI UCHBURCHAKNING XOSSALARI
10
Faollashtiruvchi mashq
?
?
?
?
Geometrik tadqiqot
?
?
?
?
83
?
?
?
?
Geometrik tadqiqot
Teng yonli uchburchak chizing. Uning uchidan chiqqan bissektrisasini o‘tkazing. Bu bissektrisa
uchburchak asosini ikki bo‘lakka bo‘ladi. Shu bo‘laklar uzunligini o‘lchab taqqoslang. Bundan qanday
xulosa chiqadi? So‘ng bissektrisa bilan asos hosil qilgan burchaklarni transportirda o‘lchang va
taqqoslang. Bundan qanday xulosa chiqadi? Bu xulosalarni tasdiq ko‘rinishida ifodalang. “Bu
xulosalar barcha teng yonli uchburchaklar uchun ham o‘rinli” deb aytish mumkinmi?
∆
ABC
,
AB
=
BC
,
AD
va
CF
– medianalar
(5-rasm)
∆
ADC
=
∆
CFA,
∆
ADB
=
∆
CFB
Isbot.
1.
AL
kesma
ABC
uchburchakning bissektrisasi
bo‘lsa
(4-rasm)
, yuqorida isbotlangan teoremaga ko‘ra,
∆
ABL
=
∆ACL
bo‘ladi. Bu uchburchaklar tengligidan
BL
=
LC
va
∠
3
=
∠
4
ekanini topamiz.
Demak,
L
nuqta
–
BC
tomonning o‘rtasi,
AL
esa
ABC
uchburchakning medianasi ekan.
2.
∠
3
va
∠
4
o‘zaro teng va qo‘shni burchaklar
bo‘lgani uchun ular to‘g‘ri burchaklardir.
Demak,
AL
kesma
ABC
uchburchakning balandligi
ham bo‘lar ekan.
| 