|
Zichlik funksiyasi va uning xossalari
|
| bet | 3/7 | | Sana | 06.06.2024 | | Hajmi | 324,9 Kb. | | #261003 |
Bog'liq ehtimollik va statistika fanidan mustaqil ish
Uzluksiz t.m.ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.
Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi deb, shu t.m. taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi f(x) orqali belgilanadi. Demak,
. (2.4.1)
Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
f(x) funksiya manfiy emas, ya’ni
.
X uzluksiz t.m.ning [a,b] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng, ya’ni
.
Uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha ifodalanadi:
. (2.4.2)
Zichlik funksiyasidan dan gacha olingan xosmas integral birga tengdir
.
Isbotlar: 1. F(x) kamaymaydigan funksiya bo‘lgani uchun , ya’ni .
2. tenglikdan Nyuton-Leybnis formulasiga asosan:
.
Bu yerdan .
3. 2-xossadan foydalanamiz:
.
4. Agar 2-xossada va deb olsak, u holda muqarrar ga hodisaga ega bo‘lamiz, u holda
.
■
2.3.-misol. X t.m. zichlik funksiyasi tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas a parametrni toping.
Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra , ya’ni . Demak, .
X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin: { }.
Matematik kutilma
X t.m. matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va
(2.5.1)
orqali belgilanadi.
Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u t.m. o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda
.
Uzluksiz t.m. matematik kutilmasi deb
(2.5.2)
integralga aytiladi. (2.5.2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi.
Matematik kutilmaning xossalari:
O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
MC=C.
O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
M(CX)=CMX.
Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,
M(X+Y)=MX+MY.
Agar XY bo‘lsa,
M(XY)=MXMY.
Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi t.m. sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC=CP{X=C}=C1=C.
2. CX diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda .
3. X+Y diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun
Bu yerda va bo‘ladi. Chunki, ,
.
|
| |
