dx
ft
ni quyidagi ko‘rinishda yozish qulay boiadi:
ПУ'+2т(Е-и)^/ = 0
(4.78)
(4.78) tenglama yechimi
134
ko‘rinishda izlanadi. Bu yechimni (4.78) ga qo‘yilsa
ihS"-Sa+2m(E-U) = 0
(4.80)
tenglama hosil qilinadi. (4.80) ifoda aniq tenglama boiganligi uchun ft
ni kichik parametr deb tanlab olib, tenglamaning yechimlarini kichik
parametr bo‘yicha qator shaklida qidiriladi, ya’ni:
S(x) =
S0
(x) + ftS, (x) + ft2S2 (x) +...
Bizning hisoblashlarimizda birinchi ikkita had bilan chegaralanish
yetarlidir:
S(x)
=
S0(x) + ftS,(x)
(4.81)
Hosil boigan taqribiy yechimni (4.80) ifodaga olib borib qo‘yib,
2m(E -U)- S'; (x) + h [*S^(jc) - 2S'S;] = 0
(4.82)
ni hosil qilinadi. (4.82) tenglama aynan nolga teng boiishi uchun uning
ft bo‘yicha alohida hadlari
nolga teng boiishi kerak, ya’ni ft
qatnashmaydigan hadlar va /г ning oldidagi ko‘paytuvchu uchun:
2m(E-U)-S;(x) = 0
(4.83)
iS;(x)-2S'f)S;(x) = 0
(4.84)
ifodalami olish mumkin. Avvalo /г = 0, ya’ni nolinchi yaqinlashishga
tegishli boigan (4.83) shartni ko‘rib chiqaylik. Bunda
S'0(x) = ±>j2m(E-U)
natija olinadi. ^2m{E-U) kattalik klassik mexanikadagi p impulsni
ifodalaydi, bundan
S' (x) =
±^2m(E-U)
=
±p
X
S0(x) = ±jpdx
(4.85)
*0
ifodalar hosil boiadi. Shunday qilib, nolinchi yaqinlashishda klassik
mexanikaning oddiy yechimini hosil qilar ekanmiz.
Yuqoridagi (4.84) tenglama orqali S, (x) ni topish mumkin
(4.86)
va (4.86) ni integralash natijasida
(4.87)
ifoda olinadi. Shunday qilib, tanlab olgan yaqinlashishida S(x) funksiya
ni olinadi. (4.89) dagi
“+” va
” ishoralarga tegishli boigan
yechimlar o‘zaro bogiiqmasdir. Shu tufayli taqriban olingan umumiy
yechimning ko‘rinishi
boiishi mumkin, bunda с , cva 0 - o‘zgarmaslar boiib, ular berilgan
masala uchun chegaraviy shartlardan topiladi. Hosil boigan (4.90) va
(4.91) taqribiy yechimlar VKB yechimlari deyiladi.
4.7. Kvaziklassik yaqinlashishda potensial o‘radagi harakatni
o‘rganish
Endi olingan natijalami konkret masalalar yechimiga tatbiqini
ko‘rib chiqaylik. Misol tariqasida bir oichamli potensial o‘radagi
zarrachalar harakatini tekshiraylik. Ushbu rasmda tasvirlangan va bitta
(4.88)
boiadi. S(x) uchun hosil boigan ifodani (4.79) ga qo‘yib
(4.89)
цг(x) = ( exp
+ ‘ expi- * ■
f pdx
;P
P
|
boiadi, yoki boshqa ko‘rinishda
с
(4.90)
f
\
(4.91)
136
minimumga ega boigan potensial energiyali o‘rada zarracha
harakatlansin.
11-rasm. Bir o‘lchamli potensial o‘ra.
II
sohada, ya’ni toia energiya potensial energiyadan katta boigan
holda,
zarracha faqat finit harakat sodir etadi va uning energiyasi
kvantlanadi. Bir oichamli harakatning umumiy hossalariga asosan
ushbu zarrachaning energiyasiga yagona, ya’ni bitta energetik sath mos
keladi. Ushbu satxning potensial egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarida,
ya’ni x=a va x=b nuqtalarda, o‘ra ichidagi zarrachaning harakatida
klassik mexanikaga asosan burilish nuqtalari mavjud boiadi, bu
nuqtalarda kinetik energiya nolga teng, toia energiya esa potensial
energiyaga teng boiadi va zarracha, klassik mexanika qonunlariga
bo'ysingan holda, qarama qarshi tomonga harakat qila boshlaydi.
Kvant mexanikasida esa ahvol boshqacha boiadi. j*| > a
boiganida, U potensial energiya kinetik
energiyadan katta boiadi,
ya’ni
U>E, zarrachaning impulsi
p = ^2m(E~U) = i^2m{U-E)
mavhum kattalik boiadi. (4.90) formuladagi eksponenta kattaliklari
haqiqiy boiadi va x —> <» da bittasi cheksiz kamayadi, bittasi esa cheksiz
o‘sib boradi
137
bu yerda biz \
p\
- ^2m{U-E) haqiqiy kattalikni belgiladik. |*j > a
sohasida o‘suvchi hadni tashlab yuborsak
( с " =
о deb tanlab olish y o ii
bilan) I soha uchun yechim
ko‘rinishda boiadi. Shunga o‘xshash III soha uchun Ьят yechimni
quyidagicha yozishimiz mumkin
ko'rinishda boiadi. Faqat x=a va x-b nuqtalarida bu yechimni biz
ishlata olmaymiz chunki bu nuqtalarda U = E boiadi va:
II sohaning tashqarisida burulish nuqtalari atrofida (4.92) va (4.93)
cheksiz ravishda ortib boradi. Asosiy masala shundan iboratki, hosil
boigan ikkita taqribiy yechimlar, ya’ni I va III sohadagi eksponensial
yechim va II sohadagi tebranuvchi yechim x=a va x=b nuqtalarda
Sredinger tenglamasining xususiy yechimiga mos kelishi kerak. Bu
masala matematik nuqtai nazardan kvant mexannikasi bo‘yicha
yozilgan turli darslikda batafsil yoritilgan va quyidagi natija olingan:
(4.92)
(4.93)
Bizni qiziqtiruvchi II soha uchun echim
(4.94)
eksponensial yechimlar J p = j2m(E-U) kattalik nolga intilishi sababli
(4.96)
(4.95)
va shunga o‘xshash analogik ravishda
(4.97)
138
¥ \ х ) =
2
cos p d x
-
< 6 .
(4.98)
Ikki yechimni taqqoslash natijasida Bor-Zommerfeld kvantlash
shartidan kelib chiqadigan natija bilan mos kelishini ko‘rib chiqaylik.
Ma’lumki, x=a va x= b nuqtalarda ikkala yechim bitta E energiya uchun
to‘g‘ri kelishi va bir-biriga teng boiishi kerak, ya’ni
rC O S
<«•»>
VIpwI
I й
4
-
Ushbu tenglik bajarilishi uchun fazalar yigindisi n butun karrali songa
teng boiishi kerak va c' = (- i)V . Shunday qilib,
yoki
x
l>
J
p(x)dx +
J
p(x)dx
ь
J p(x)dx -
к
~2
■7tn
1
n + —
2
rth
boiishi kerak. Ammo
boiganligi sababli:
о
J =
J
p{x)dx =
2 J
p{x)dx
n + -
h-2n =
n + — \
h
2
hosil boiadi. Bunda Л In = h . Shunday qilib, kvant nazariyasining
kvant shartlari hosil qilinadi. Ushbu shartlar Bor nazariyasidagi
statsionar holatlami aniqlovchi kvantlash qoidasining aynan o‘zidir.
Demak, Bor nazariyasi kvaziklassik yaqinlashish doirasida to‘g‘ri
natijalarga olib kelar ekan.
4.8. IV bob ga oid savol va masalalar
1.
Dekart
koordinatalarida
erkin
zarracha
to ‘Iqin
funksiyasining ko ‘rinishi yozing.
2. Kvant mexanikasida zarrachani potensial to ‘siqdan о ‘tish
hodisasining mohiyatini ochib bering.
139
3. Potensial to ‘siqdan zarracha о ‘tganida shaffoflik va qaytish
koeffitsiyentlarini aniqlab bering.
4. Chiziqli
garmonik
ostsillyator
uchun
Shredinger
tenglamasining ко ‘rinishi qanday bo ladi?
5. Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan potensial о 'rada
harakatlanuvchi zarracha uchun qanday umumiy xarakterga ega
bo ‘Igan natijalar kelib chiqadi?
6
.
Chiziqli
garmonik
ostsillyator
uchun
Shredinger
tenglamasining xususiy qiymatlari va xususiy funks iyalarini toping.
7. Masala. Shaffoflik koeffitsiyenti D ni baholang bunda D 0~],
va U(rE~I
erg, m~l0~27gr (elektronning massasi tartibida), l~10~8 sm
(atom radiusi tartibida) deb oling.
| 