|
I V bob
BIR 0 ‘LCHAMLI MASALALARI V bob
BIR 0 ‘LCHAMLI MASALALAR
4.1. Cheksiz chuqur potensial o‘radagi harakat
Ushbu bobda Shredinger tenglamasini bir necha m asalalami
yechishga q o ilaniladi, chunki Shredinger tenglamasi sodda potensial
m aydonlar uchungina aniq yechimlarga ega. Bu xil dagi oddiy
m asalalam i yechishdan maqsad, Shredinger tenglamasining m atematik
apparatini m ukammalroq egallashdan iborat. Dastlab, zarrachaning bir
o ich o v li oddiy harakati ko‘rib chiqiladi. Potensial energiyasi
U(x) = j °
3gar ° [oo agar x < 0
va x > I
orqali ifodalangan potensial m aydonda zarrachaning
bir o ich a m li
harakati tekshirib chiqiladi. Bunday potensial maydonni cheksiz
potensial o ‘ra deyiladi va ravshanki bunday o ‘rada zarracha faqat
0
qiziqtiradi:
1)
cheklab q o ‘yilgan zarracha harakatini ifodalovchi Shredinger
tenglamasini qanday yechish mumkin;
2) shu tenglam a yechim ining xarakterli xossalarini aniqlash;
3) m asalaning kvant mexanikasi hamda klassik mexanikasi yordamida
olingan yechimlarini o ‘zaro taqqoslash.
M azkur potensial o ‘rada klassik zarrachaning harakatini k o ‘rib
chiqaylik. M a’lumki, potensial o‘radagi klassik zarrachaning energiyasi
ixtiyoriy qiymat qabul qila olishi mumkin. Agar zarrachaning to‘la
energiyasi 0 oraliqda joylashgan b o ‘lsa, u holda zarracha
potensial o ‘radan chiqib keta olmaydi. Chunki zarracha potensial
o'radan chiqib keta olishi uchun u t o i a energiyadan katta potensial
to ‘siqni yengib o ‘tib, shu qiymatli potensial energiyaga teng b o ig a n
t o i a energiyaga ega b o iib qolishi kerak. Lekin bu holda zarrachaning
kinetik energiyasi manfiy qiymatga ega b o iib qoladi va tabiiyki bu
mumkin emas. Yuqorida aytib o ‘tilgan tasdiq, albatta, klassik zarracha
harakati uchun m um kin b o im a g a n hoi b o ia d i: hech qanday zarracha
manfiy kinetik energiya bilan harakat qila olmaydi. Shuning uchun,
potensial o ‘ra chekkasiga yetgan klassik zarracha
uning devoridan
108
qaytadi va teskari yo‘nalishda harakatlanadi, o ‘raning qarama-qarshi
devoriga yetib borgandan so‘ng, yana orqaga qaytadi va hokazo.
Shunday qilib, klassik fizika qonunlariga asosan zarracha potensial o ‘ra
tashqarisida b o ‘la olmaydi va o ‘ra ichida har qanday nuqtada bir xil
ehtimol bilan qayd qilinishi mumkin.
Kvant mexanikasi
qonunlariga b o ‘ysunadigan zarrachaning
potensial
o ‘radagi
harakati
butunlay
boshqacha
b o ‘ladi.
Kvantlanishning asosiy shartiga k o ‘ra, zarracha harakatining to ‘lqin
funksiyasi uzluksiz va bir qiymatli b o iis h i kerak. Demak, zarrachaning
to iq in funksiyasi x - o'qining m usbat y o ‘nalishi b o ‘ylab koordinataning
x>0 sohasida tekis o ‘zgarishi uchun potensial o ‘raning o ‘ng devoridan
tashqi qismida ham davom ettirilishi kerak. Potensial energiya cheksiz
katta b o ig a n holida, y a’ni potensial o ‘raning chap devoridan tashqi
qismida zarrachaning harakati k o ‘rib chiqiladi. Shredinger tenglamasini
yechmasdan turib, zarrachaning chap devordan tashqi sohadagi
harakatiga quyidagicha izoh berish mumkin: kvant mexanikasi nuqtayi
nazaridan, zarrachaning mutlaqo o ‘tib bo lm ay d ig an x < 0 sohaga kira
olish ehtimoli zarracha qancha katta b o is a , shuncha kichik b o iad i.
Potensial
o ‘radagi
zarracha
harakatiga
oid
Shredinger
tenglamasini yechishdan avval bu m asala uchun chegaraviy shartlarini
ifodalanadi. Zarracha potensial o ‘ra tashqarisida joylasha olmasligini
hisobga olsak, uning 0 < x < I oraliqdan tashqarida to iq in funksiyasi
nolga teng b o ia d i. Ikkinchidan, uzluksizlik shartidan
|
| |
