Qo‘shish qonunlari
Oldingi mavzularda bayon etilgan butun nomanfiy sonlarni qo‘shishga doir yondoshish qo‘shishning ma’lum qoidalari- o‘rin almashtirish va guruhlash qoidalarini asoslashga imkon beradi.
Dastlab o‘rin almashtirish (kommutativlik) qonunini isbotlaymiz, ya’ni ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a+b=b+a tenglikning bajarilishini isbotlaymiz.
a soni A to‘plamdagi elementlar soni, b son esa В to‘plamidagi elementlar soni va А В= bo‘lsin. U holda butun nomanfiy sonlar yig’indisining ta’rifiga ko‘ra a+b A va В to‘plamlar birlashmasidagi elementlar soni bo‘ladi. a+b=n(AUВ). To‘plamlar birlashmasining o‘rin almashtirish xossasiga ko‘ra AUВ to‘plam ВUA to‘plamga teng va demak, n(AUВ)=n(ВUA). Yig’indining ta’rifiga ko‘ra n(ВUA)=b+a, shuning uchun ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a+b=b+a.
Endi guruhlash (assostiativlik) qoidasini isbotlaymiz, ya’ni ixtiyoriy butun nomanfiy a, b va с sonlar uchun (a+b)+с=a+(b+с) tenglikni bajarilishini isbotlaymiz.
a=n (A), b=n(В), с=n(С) bo‘lsin, bunda (А В)= (В C)=
U holda ikki son yig'ndisining ta'rifiga ko‘ra (a+b)+с=n(AUВ)+n(С)= n ((AUВ)UС) deb yozish mumkin.
To‘plamlarning birlashmasi guruhlash qonuniga buysungani uchun n((AUВ)UС)=n(AU(ВUС)) bo‘ladi. Bundan ikki son yig’indisining ta’rifiga ko‘ra n(AU(ВUС))=n(A)+n(ВUС)=a+(b+с) ga ega bo‘lamiz. Demak, ixtiyoriy butun nomanfiy a,b va c sonlar uchun (a+b)+с=a+(b+с) bo‘ladi.
Qo‘shishning guruhlash qonunining qo‘llanilishi qanday? U uchta qo‘shiluvchining yig’indisini qanday topish mumkinligini tushuntiradi: buning uchun birinchi qo‘shiluvchi bilan ikkinchi qo‘shiluvchini qo‘shish va hosil bo‘lgan songa uchinchi qo‘shiluvchini qo‘shish yetarli yoki birinchi qo‘shiluvchini ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilar yig’indisiga qo‘shish yetarli. Guruhlash qonuni qo‘shiluvchilar o‘rnini almashtirishni ko‘zda tutmasligini eslatib o‘tamiz.
Qo‘shishning o‘rin almashtirish qonuni ham, guruhlash qonuni ham ixtiyoriy sondagi qo‘shiluvchilar uchun umumlashtirilishi mumkin. Bunda o‘rin almashtirish qonuni qo‘shiluvchilar o‘rni har qanday almashtirilganda ham yig’indi o‘zgarmasligini, guruhlash qonuni esa qo‘shiluvchilarni har qanday guruhlaganda ham (ularning tartibini o‘zgartirmagan holda) yig’indi o‘zgarmasligini anglatadi.
Qo‘shishning o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlaridan bir nechta qo‘shiluvchining yig’indisi qo‘shiluvchilar o‘rinlarini ixtiyoriy usulda almashtirish bilan yoki qo‘shiluvchilarning ixtiyoriy guruhni qavsga olish bilan o‘zgarmasligi kelib chiqadi.
Qo‘shish qonunlaridan foydalanib, 109+36+191+64+27 ifodaning qiymatini hisoblaymiz. O‘rin almashtirish qonuniga asosan 36 va 191 qo‘shiluvchilarning o‘rinlarini almashtiramiz.
U holda 109+36+191+64+27=109+191+36+64+27.
Guruhlash qonunidan foydalanib, qo‘shiluvchilarni guruhlaymiz, so‘ngra qavs ichidagi yigindilarni topamiz: 109+191+36+64+27=(109+191)+(36+64)+27=300+100+27
300 va 100 sonlarini qavs ichiga olish bilan guruhlash qonunini yana bir marta qo‘llaymiz: 300+100+27=(300+100)+27.
Hisoblashni bajaramiz: (300+100)+27=400+27=427
Boshlang’ich sinf o‘quvchilari qo‘shishning o‘rin almashtirish xossasi bilan birinchi o‘nlikdagi sonlarni o‘rganishda tanishadilar. Dastlab u bir xonali sonlarni qo‘shish jadvalini tuzishda qo‘llaniladi, keyin esa turli-tuman hisoblashlarni takomillashtirish uchun qo‘llaniladi.
Boshlang’ich matematika kursida qo‘shishning guruhlash qonuni oshkor ko‘rinishda o‘rganilmaydi, lekin har doim qo‘llaniladi. Jumladan, u sonlarni qismlar bo‘yicha qo‘shishning asosiy usulidir:
3+2=3+(1+1)=(3+1)+1=4+1=5. Bundan tashqari, sonni yig’indiga qo‘shish, yig’indini songa qo‘shish, yig’indini yig’indiga qo‘shish hollarida guruhlash qonuni o‘rin almashtirish bilan birga qo‘llaniladi. Masalan, 2+1 yig’indiga 4 sonini qo‘shish quyidagi usullar bilan beriladi:
1) 4+(2+1)=4+3=7
2) 4+(2+1)=6+1=7
3) 4+(2+1)=5+2=7
Bu usullarni tahlil qilamiz: 1)holda hisoblashlar amallarning ko‘rsatilgan tartibiga mos ravishda bajarilgan: 2) holda qo‘shishning guruhlash xossasi qo‘llanilgan. So‘ngi holdagi hisoblash esa qo‘shishning o‘rin almashtirish va guruhlash qonunlariga suyanadi, bunda oraliq almashtirishlar tushirib qoldirilgan. Ular bunday. Dastlab o‘rin almashtirish qonuniga asosan 1 va 2 qo‘shiluvchilarning o‘rinlarini almashtirdik: 4+(2+1)=4+(1+2). Keyin guruhlash qonunidan foydalandik: 4+(1+2)=(4+1)+2 va nihoyat, hisoblarni amallar tartibi bo‘yicha bajardik: (4+1)+2=5+2=7
“Teng” va “kichik” munosabatlari
Sonlarni taqqoslash qanday nazariy asosda yuz berishini aniqlaymiz. Ikkita butun nomanfiy a va b son berilgan bo‘lsin. Nazariy to‘plam nuqtayi nazaridan ular chekli A va В to‘plamlar elementlari sonini ifodalaydi: a=n(A), b=n (В), Agar to‘plamlar teng quvvatli bo‘lsa, u holda ularga aynan bir son mos keladi, ya’ni a=b
Ta’rif: a va b sonlar teng quvvatli to‘plamlar bilan aniqlansa, u holda ular teng bo‘ladi:
а=b А В, bu erda n(А)=а, n (В)=b
A va В to‘plamlar teng quvvatli bo‘lmasa, u holda ular bilan aniqlanadigan sonlar turlicha bo‘ladi.
Ta’rif: Agar A to‘plam В to‘plamning qism to‘plamiga teng quvvatli bo‘lsa va n(A)=a, n(В)=b bo‘lsa, a son b sondan kichik deyiladi va a < b kabi yoziladi. Xuddi shu vaziyatda b son a sonidan katta deyiladi va b > a kabi yoziladi.
А < b А В, bu erda В1 В va В1 В , В1
Boshlang'ich maktabda 2=2, 3=3, 2 < 3, 3 < 4 va hokazolarni tushuntirishda «teng» va «kichik» munosabatlarining keltirilgan ta'riflaridan kelib chiqiladi. Masalan, 3=3 yozuvni kiritishda kvadrat va doiralarning ikkita teng quvvatli to‘plamlari qaraladi.
57-rasm
3< 4 munosabatni o‘rganishda bunday mulohaza kiritiladi: uchta pushti va to‘rtta ko‘k doiracha olamiz va har bir pushti doirachani ko‘k doirachaning ustiga qo‘yamiz, ustiga doiracha qo‘yilmagan ko‘k doiracha qolganini ko‘ramiz, demak pushti doirachalar ko‘k doirachalardan kam, shuning uchun 3< 4 kabi yozish mumkin. Agar a va b sonlar mos ravishda A va В to‘plamlar (doirachalar, kvadratlar, tayoqchalar va h.k) bilan aniqlansa, u holda В to‘plamdan o‘zining A to‘plamiga teng quvvatli qism to‘plamini ajratish amalda juda xilma-xil usullar bilan yuz beradi: ustiga qo‘yish, yonma-yon qo‘yish, juftliklar hosil qilish va h.k. Bunday bo‘lishi mumkin, chunki a
“Kichik” munosabati ta’rifiga bayon etilgan yondashish qo‘llanishda chegaralanishga ega, u 20 ichidagi sonlarni taqsimlash uchun qo‘llanilishi mumkin, chunki bu predmetlarning ikkita guruhini taqqoslash bilan bog’liq.
Butun nomanfiy sonlarni yana qanday taqqoslash mumkin? Yuqorida berilgan ta’rif ma’nosida a1 bu yerda В1 , В to‘plamning o‘z qism to‘plami
A В A~В1 58-rasm
В1 В bo‘lgani uchun В to‘plamni В1 to‘plam va uning to‘ldiruvchisi В\В1 to‘plamning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Bu to‘ldiruvchi to‘plamni В’1 bilan belgilaymiz, ya’ni В/В1=В1 U holda В=В1UВ1 va demak, n(В)=n(В1U В1) В1 va В1 to‘plamlar kesishmasligi sababli yig’indining ta’rifiga ko‘ra n (В)=n(В1)+n(В1) (*). Lekin shartga ko‘ra В1 ~ A, demak , n(В1)=n(A). Agar В1 to‘plamdagi elementlar sonini с bilan belgilasak, u holda (*) tenglikni b=a+с ko‘rinishda yozish mumkin, ya’ni a< b ekanidan b=a+с kelib chiqadi. Teskari da’voning ham o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. “Kichik” munosabatining boshqacha ta’rifiga keldik.
a+с=b bo‘ladigan c son mavjud bo‘lganda va faqat shu holda a son b sondan kichik bo‘ladi. Bu ta’rifdan foydalanib, 3<7 ekanini qanday tushuntirish mumkin? 3<7, chunki 3+4=7 bo‘ladigan butun nomanfiy 4 soni mavjud.
“Kichik” munosabatining qo‘shish orqali ta’riflashning bunday usulidan boshlang’ich matematika kursida ham foydalaniladi. Ushbu yozuvlar juftlari ham shundan dalolat beradi: 5+1=6, 6> 5; 7+1=8, 7<8
Sonlarni taqqoslashni yana bir usulini ko‘rib chiqamiz.
аа kesmasi Nb kesmaning o‘z qism to‘plami bo‘ladi. Teskari da’vo ham o‘rinli.
Shunday qilib, “kichik” munosabatining yana bitta ta’rifiga ega bo‘lamiz:
Natural qatorning Na kesmasi shu qatorning Nb kesmasining o‘z qism to‘plami bo‘lganda va faqat shu holda a soni b sonidan kichik bo‘ladi:
a< b Na Nb va Na Nb
Masalan 3 < 7 tengsizlikning o‘rinligini shu nuqtai nazardan (1,2, 3,) (1,2,3,4,5,6,7) ekani bilan tushuntirish mumkin.
“Kichik” tushunchasining mazkur talqini sonlarni ularning natural qatoridagi o‘rnini bilishga asoslangan holda taqqoslashga imkon beradi.
Sonlarni taqqoslashning bu usuli ham boshlang’ich matematikani o‘qitishda qo‘llaniladi. Sanoqda oldin keladigan son undan keyin keladigan sondan har doim kichik bo‘ladi.
|
