Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program fiz3;
var
alfa1,H,t,v0,g,alfa,sx:real;
begin
write('v0=');read(v0);
write('g=');read(g);
write('alfa=');read(alfa);
alfa1:=3.14*alfa/180;
H:=sqr(v0)*sqr(sin(alfa1))/(2*g);
t:=(2*v0*SIN(alfa1))/g;
sx:=sqr(v0)*SIN(2*alfa1)/g;
writeln('H=',H:6:2, ' t=',t:6:2,' sx= ' ,sx:6:2 );
end.
8 – masala. Uzunligi l=50 m, balandligi h=10m bo`lgan qiya tekislikdan m=60kg massali chana arqon bilan tushirilmoqda. Agar tepalikning etagida chana vt=5m/s tezlikka erishsa va ishqalanish koeffisenti k=0,1 ga teng bo`lsa, arqoning T taranglik kuchi topilsin.
Berilgan: l=50 m, h=10m, m=60kg, v0=0 vt=5m/s, k=0,1, g=9,8m/s2.
Topish kerak: T =?
4- rasm
Yechish: Chanaga ta`sir qiluvchi kuchlar 4- rasmda tasvirlangan bo`lib, unda  - og`irlik kuchi,  chanani pastga sudrovchi kuch va  – ishqalanish kuchlari. Chananing qiya tekislik bo`ylab harakati uchun Nyutonning ikkinchi qonunini quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
 ,
bunda ,  va kenimatik munosabatdan tezlanish  ga teng bo`ladi. Demak,
Javob: Arqonning tarqanglik kuchi T=44,1 H ga teng [11].
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program fiz4;
var
nat,m,g,h,l,k,v,t:real;
begin
write('m=');read(m);
write('g=');read(g);
write('h=');read(h);
write('l=');read(l);
write('k=');read(k);
write('v=');read(v);
write('t=');read(t);
nat:=m*g*((h/l)-k-(sqr(v))/2*g*t);
write('nat=',nat);
end.
9-masala. Sun`iy yo`ldosh yerdan h=1600 km balandlikda ekvator tekisligida joylashgan aylana orbitasi bo`ylab uchishi uchun Yerga nisbatan qanday vn va  tezlikka ega bo`lish kerak? Yer radiusi R=6400 km, Yer sirtidagi erkin tushish tezlanishi g0=9,8 m/s2 deb olinsin.
Berilgan: R=6400 km=6,4·106 m, h=1600 km=1,6·106 m, g0=9,8 m/s2, γ=6.67·10-11 m3/kg·s2, T=24 soat=24·60·60 s.
Toppish kerak: vn=? =?
Yechish: Suniy yo`ldosh Yerning  tortishish kuchi ta`sirida aylana bo`ylab tekis harakatlanadi, binobarin, berilgan holda bu markazga intilma  kuchdan iborat, ya`ni  bo`ladi, bunda m – suniy yo`ldosh massasi, h – uning Yer sirtidan hisoblangan balandligi. M – Yerning massasi, v – raketaning tezligi bo`lib, yuqoridan quyidagiga teng:
 .
Agar shunga o`xshash maslalarni yechishda Yer massasi ishtirok etmasa, undan M yerning massasini chiqarib tashlab, hisoblashni ancha soddalashtirish mumkin, ya`ni  dan  ni yuqorida o`rniga quyilsa, raketaning tezligiquyidagicha bo`ladi:
u vaqtda suniy yo`ldoshning Yerga nisbatan  nisbiy tezligi
bo`ladi, bunda  – ekvatordagi nuqtalarning chiziqli tezligi Yer radiusi R va uning sutkali aylanish davri T ni bilgan holda quyidagi ifoda topilishi mumkin:
u vaqtda raketaning nisbiy tezligi quyidagiga teng:
Shunday qilib:
  [11] .
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program fiz;
var
nat,vn,H,R,T,pi,g0:real;
begin
write('yer sirtini baland H=');read(H);
write('yer radiusi R=');read(R);
write('T=');read(T);
pi:=3.14;
write('erkin tushish tezlanishi g0=');read(g0);
nat:=sqrt(g0*R*R/(R H)) (2*pi*R)/T;
vn:=sqrt(g0*R*R/(R H))-(2*pi*R)/T;
write(' nat=',nat:6:2, ' vn=',vn:6:2);
end.
10 – masala. m = 50 kg massali jismni uzunligi l = 13 m va balandligi
h = 5 m bo`lgan qiya tekislikda yuqoriga tekis chiqarish uchun tekislik bo`ylab jismga qanday F kuch qo`yilish kerak? Ishqalanish koeffisenti k = 0,125 ga teng (5-rasm.)
5-rasm.
Berilgan: m = 50 kg, l = 13 m, h = 5 m, k = 0,125.
Toppish kerak: F = ?
Yechish: rasmda ko`rsatilgandek jismning P og`irligini ikkita  jismni pastga sudrovchi va uni qiya tekislikka qisuvchi  – normal bosim kuchlariga ajratamiz.
Jismni tekis harakatga keltiruvchi F kuch Fc sudrovchi kuch va Fishq ishqalanish kuchi bilan muvozanatlashishi kerak, ya`ni:
 bo`lib, chizmadan  bo`lgani uchun:
Javob: F=245 H [11].
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program fiz5;
var
F,m,g,l,h,k:real;
begin
write('m=');read(m);
write('g=');read(g);
write('l=');read(l);
write('h=');read(h);
write('k=');read(k);
F:=(m*g/l)*(h k*sqrt(l*l-h*h));
write('F=',F);
end.
11-masala. Vodorod atomidagi birinch uchta bor elektron orbitalarining radiuslari (r) va ulardagi elektron tezliklarni (υ) toping.
Masalani ychish uchun dastlab matematik modeli tuzib olinadi. Buning uchun esa albatda fezikaviy jarayonlar hisobga olinadi.
Berilgan:
n1=1,
n2=2,
n3=3
r=?, υ=?
|
Yechish: Ma’lumki, elektron atom yadrosi bilan Kulon ta’sir kuchi (Fk) va markazga intilma kuch (Fmi) bilan o’zaro tasirlashadi, yani
Fk = Fmi (1)
|
Bu erda Fk =  ga, а Fmi =  ga tengdir (2).
Atom yadrosi va elektron bunday kuchlar bilan o’zaro ta’sirlashganda elektron impl’s momentiga ega bo’ladi, yani
me υe rn = n = n (3).
(1),(2),(3) formulalarga asosan elektron radiusi va tezligi quyidagicha kurinish-
ga ega bo’ladi:
rn =  (4), υe =  (5).
Bu erda: ε0= 8,85·10-12 f/m ga teng bo’lib, elektr doimiysidir, h = 6,62·10-34 j·s ga teng bo’lib, Plank doimiysi, m = 9,1·10-31 kg ga teng bo’lib, elektron massasi, e = 1,6 ·10-19 Kl ga teng bo’lib, elektron zaryadi hisoblanadi.
Masala shartidagi berilgan qiymatlarni (5) va (6) formulalarga quyib elektronning yadro atrofidagi harakatlanish orbitasing radiusi va elektron tezligini hisoblaymiz:
r1 =  ,
υ1 =  .
Xuddi shuningdek, n2 = 2, n3 = 3 ga teng bo’lgandagi holni ham (5) va (6) formulalar asosida hisoblanadi.
Ma’lumki, atomni kattaligi 10-10 m, yadroning kattaligi 10-14 - 10-15 m tartibidadir. berilgan masala shartiga e’tibor bersak, fizik kattaliklarning miqdori 10-12 ÷ 10-34 tartibida o’zgarayabdi. Bunday masalalar matematik model bilan ychilsa talabalar vaqtdan yutqazishadi. Ammo umumiy fizika kursining “Atom fizika ” bo’limida yuqorida keltirilgan masalaga o’xshash masalalar juda ko’p uchraydi. Shu sababli bunday fizik masalalarni ychishda kom’pyuter texnologiyalar asosida dasturlar tuzub ychilsa, talabalarga vaqtdan unumli foydalanishga imkoniyat yaratiladi,
Endi bu masalalrning Paskal tilidagi dasturini tuzishga harakat qilamiz
Program N;
Var
r, υ, h, ε0, n, pi, m, e: real;
begin
Write(‘n=’); Read (n);
e:=1.6;
pi:=3.14;
eps0=8.85;
m:=9.1;
h:=6.62;
υ:=e·e/2·eps0·h·n;
r:=eps0·n·n·h·h/pi·m·e·e;
Write ( `υ =`, υ, `r=`, r );
End.
Demak, komp’yuter texnologiyasidan foydalanib fizik masalalarni dasturlab ychish vaqtdan unumli foydalanishga keng imkoniyatlar beradi.
III BOB. PASKAL DASTURLASH TILINI OLIY MATEMATIKA MASALALARIGA TADBIQI
3.1. Paskal dasturlash tilida qatorlarni hisoblash
Malumki, geometrik progressiyalar matematikada alohida urin tutadi. Ayniqsa, hadlari geometrik progressini tashkil qiluvchi sonli qatorlar qatorlar nazariyasida asosiy hal qiluvchi rolga ega. Qatorlarni jamlanuvchiligi yoki tarqaluvchiligi aniqlab beruvchi asosiy alomatlar hadlari geometrik progressini tashkil qiluvchi sonli qatorlarga tayanadi. Masalan Dalamber va Koshi alomatlari bunga yorqin misoldir.
Ushbu
 (1)
ketma-ketlik  bo`lganda geometrik progressiya deb ataladi. Bu yerda  -progressiyaning birinchi xadi,  -progressiya maxraji.
Geometrik progressiyaning birinchi  ta xadining yigindisi quyidagi
  ,  ,
formula bilan ifodalanadi.  ketma –ketlikni limiti
(1) progressiyaning barcha xadlari yig`indisi deyiladi. Agar  chekli bo’lsa ushbu
 (2)
- qator jamlanuvchi deyiladi, cheksiz bo’lsa tarqaluvchi deyiladi.
Shunday qilib, “cheksiz yig`indi” larni hisoblash masalasi yuzaga keladi. Bunday “cheksiz yigindi” larni sonli qatorlar deb ataymiz.
1-misol. Takrorlash operatorlaridan foydalanib qatorlar yig‘indisini hisoblashni tashkil etish.
Paskal dasturlsh tilida takrorlash jarayonini tashkil etishning quyidagi usullari mavjud:
-
shartli o‘tish operatorlari yordamida;
-
parametrli takrorlash operatorlari yordamida ( for i:= a to b do c);
-
dastlabki shartli takrorlash operatorlari yordamida ( while a do b);
-
so‘ngi shartli takrorlash operatorlari yordamida (repeat a1,…an; intil b).
Ushbu masalada takrorlash operatorlarida foydalanish ko’nikmasini hosil qilish uchun iteratsion jarayondan foydalanib berilgan qatorlarning yig’indisini hisoblashni ko‘rib chiqamiz. Buning uchun dastlab qatorning navbatdagi hadini hisoblashning rekkurent formulasi keltirib chiqariladi. Rekkurent formulani keltirib chiqarishda qator keyingi hadining o‘zidan oldingi hadiga nisbatidan foydalaniladi. Quyida  qatorning yig‘indisini aniqlikda hisoblash jarayonini qaraymiz. Bu yerda berilgan qator cheksiz qator bo‘lib, uning yig‘indisini hisoblashda qatorning har bir hadi berilgan kattalik bilan solishtiriladi va qachonki qator hadi berilgan kattalikdan kichik bo‘lgunga qadar yig‘indini hisoblash davom ettiriladi. Rekkurent formulani keltirib chiqaramiz:
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program klm;
const E=0.1E-3;
var n: integer; an, summa: real;
begin
summa:=0; n:=1; an:= 1/3;
while an>E do
begin
summa:=summa an; n:=n 1;
an:=an*(n 1)/(2*(2*n 1));
end;
writeln ('summa=', summa, 'qatorning oxirgi hadi =',an);
end.
2-misol.  - jamlanuvchi qatorni yig’indisini Paskal dasturlash tilida yordamida  aniqlikda hisoblang.
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program klm;
var
n:integer;
s:real;
begin
n:=1;
while n<11 do begin
s:=1/exp(n*ln(2));
n:=n 1;
if s<0.001 then writeln('s=',s)
else writeln('bu qator ning n hadi 0,001 dan katta');
end;
end.
3-misol.  - tarqaluvchi qatorni hadlarining yig’indisini Paskal dasturlash tilida yordamida 2013 sonida katta bo`lgunga qadar hisoblang.
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program klm;
var
k,n:integer;
s:real;
begin
write('k='); read(k);
n:=1;
while n
s:=exp(n*ln(2));
n:=n 1;
if s<=2013 then writeln('s=',s) else writeln('bu son 2013 da katta'); end;
end.
4-misol.  qatorni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlang.
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program kl;
var
n,m:integer;
s:real;
begin
write('n='); read(n);
begin
s:=0;
for n:=1 to m do
s:=s 1/(n*n); end;
if s<1 then write('qator yaqinlashuvchi') else
write('uzaqlashuvchi');
end.
5-misol.  qatorni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlang.
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program kl;
var
n,m:integer;
s:real;
begin
write('m='); read(m);
begin
s:=0;
for n:=1 to m do
s:=s n*n; end;
if s<1 then write('qator yaqinlashuvchi') else
write('uzaqlashuvchi');
end.
-
Paskal dasturlash tilida oliy algebra masalalarini yechish.
Oliy algebra kursini bir nechta o`zgaruvchili birinchi darajali tenglamalar sistemasini yoki, boshqacha qilib aytganda, chiziqli tengamalar sistemalarini o`rganishdan boshlaymiz.
Elementar matematikadan farqli o`laroq, bu yerda tenglamalari va noma`lumlari soni ixtiyoriy bo`lgan sistemalarining o`rganamiz, bazan sistemadagi tenglamalar soni tenglamalar soni noma`lumlar soniga teng deb faraz qilinmagan holler ham ko`riladi.
Ikki noma`lumli ikkita chiziqli tenglama sistemasi berilgan bo`lsin:
 (1)
Bu sistemaning koeffisentlari ikkinchi tartibli kvadrat matritsa tashkil etadi:
 .
(1) sistemaga koeffisentlarni tenglash usulini qo`llab,
ni hosil qilamiz.
 deb faraz qilamiz. Bu holda
  . (3)
Noma`lumlarning hosil qilingan qiymatlarni (1) ga qo`yib, (3) ifodalar (1) sistemaning yechimi ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin.
Noma`lumlarning qiymatlari (3) ning umumiy maxraji (2) matritsa elementlari orqali osongina ifodalanadi: u bosh diagonal elementlari ko`paytmasidan ikkinchi diagonal elementlari ko`paytmasining ayirilganiga teng. Bu son (2) ma tritsaning determinant deyiladi; chunki (2) matritsa ikkinchi tartibli matritsadir. (2) matritsaning determinantini belgilash uchun quyidagi sinvol ishlatiladi: (2) matritsiya kuchirilib yoziladi, biroq bu qavislar o`rniga to`g`ri chiziqchalar orasiga olinadi; shunday qilib,
 . (4)
1-misol: 
Dastur kodini umumiy ko`rinishga keltiramiz:
program det;
var
d,a11,a12,a21,a22:real;
begin
write('a11='); read(a11);
write('a12='); read(a12);
write('a21='); read(a21);
write('a22='); read(a22);
d:=a11*a22-a12*a21;
write('d=',d);
end.
Yana shuni bir bor takidlash lozimki, matrisa sonlardan iborat jadval bo`lsa, determinant kvadrat matretsa bilan ma`lum ravishda bog`liq bo`lgan sondir.  va  ko`patmalar ikkinch itartibli detrminantning hadlari debatalishini qayt qilib o`tamiz.
(3) ifodalarning suratlari maxrajiga ega bo`lgan ko`rinishga ega, ya`ni ular ham ikkinchi tartibli detrminantlardir: x1 uchun ifodaning surati (2) matresadan uning birinchi ustinini (1) sistemaning ozod hadlari bilan almashtirishdan hosil bo`lgan matresaning detrminantidir, x2 uchun ifodaning surati (2) matresadan uning ikkinchi ustinini xuddi shunday almashtirishdan hosil bo`lgan matresa detirminantidir. Endi (3) formulalarni ushbu ko`rinishda yozish mumkin;
 ,  (5)
Ikki nomalumli ikkita chiziqli tenglama sistemasini echishning (Kramer qoidasi deb ataluvchi) buqoidasi so`z bilan quyidagicha ifodalanadi:
Agar (1) tenglamalar sistemasining koeffsentlaridan tuzilgan (4) detrminat noldan farqli bo`lsa u holda (1) sistemaning echimini quyidagicha hosil qilamiz; noma`lumlarning qiymatlari uchun shunday kasrlarni qabul qilamizki, ularning umumiy maxraji bo`lib (4) diterminat xizmat qiladi; x1 i = 1,2 noma`lumlarning surati esa (4) determinantda i – ustunni ya`ni izlanayotgan noma`lumning koeffisentlari ustunini (1) sistemaning ozod hadlaridan iborat ustun bilan almashtirish natijasida hosil bo`ladigan detrminandan iborat bo`ladi.
2- misol.
sistemani yeching.
Koeffisentlaridan tuzilgan determinant
bo`lib, u nolda faqrli va shuning uchun sistemaga Kramer qoidasini qo`llash mumkin. Noma`lumlar uchun suratlar ushbu
 
Determinantlar bo`ladi.
Shunday qilib, quyidagi sonlar sistemasi sistemamizning yechimi bo`ladi:
  .
|
