Amaliy mashg’ulot. Lebeg integrali va uning xossalariga doir
misol-masalalar yYechish.
Ajraktilgan vaqt 8 soat
Dars maqsadi:
1. Lebeg integralini va uning xossalarini misol va masalalar yordamida tushintirish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. Chegaralangan va chegaralanmagan funktsiyalarning Lebeg integralini xisoblay oladi.
2. Lebeg integralining ahamiyatini tushintirishga doir masala echa oladi.
Zaruriy tushunchalar.
Agar f(x) funktsiyaning E to’plamdagi har xil qiymatlar soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasa, u holda bunday f(x) funktsiya E to’plamda sodda funktsiya deyiladi.
Agar Ek to’plam o’lchovli Ek va
bo’lib
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda E to’plamda berilgan va o’lchovli bo’lgan f(x) sodda funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrllanuvchi deyiladi.
Agar E to’plamdagi f(x) sodda funktsiya integrallanuvchi bo’lsa, u holda
qator Lebeg integrali deyiladi va
deb belgilanadi.
Agar E to’plam deyarli hamma joyida f(x) funktsiyaga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda o’lchovli va deyarli hamma joyda chekli bo’lgan f(x) funktsiya E to’plam bo’yicha Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda
E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va
deb belgilanadi.
Asosiy teoremalar
4.1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funktsiya
, ks)
to’plamda berilgan bo’lsin. Agar Ek to’plamning har biri o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
4.2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funktsiyadan olingan integral noga teng.
4.3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funktsiyaning o’zgarishi, uning integral qiymatini o’zgartirmaydi.
4.4.Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik E to’plam Ak to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib Ak larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {Ak} to’plam soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) har bir Ak to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
shu bilan birga
4.5.Teorema. Faraz qilaylik E to’plam Ak to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib Ak larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {Ak} to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya har bir Ak to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va
bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
4.6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda >0, bo’lib ixtiyoriy eE (e<) uchun
bo’ladi.
4.7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda integrallanuvchi bo’lgan (x) uchun
tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
tenglik o’rinli bo’ladi.
4.8.Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
{fn(x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
E to’plamda fn(x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lib
bo’lsin. U holda
mavjud va f(x) funktsiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga
Natija. Agar manfiy bo’lmagan {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun E to’plamda
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
qator E to’plamda deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi bo’ladi va
tenglik bajariladi.
4.9.Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan {fn(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funktsiya deyarli yaqinlashuvchi bo’lib E to’plamda fn(x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun
bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
bo’ladi.
4.10.Teorema. [a,b] kesmada berilgan f(x) funktsiya Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b] kesmada deyarli hamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.
3. Masalalar yYechish
4.1.-masala. [-1,1] kesmada integrallanmaydigan sodda funktsiyani tuzing.
Yechish. f(x) funktsiyani quyidagicha tuzamiz. Agar
bo’lsa, f(x)n deb olamiz va x0 bo’lsa, f(x)0 deb olamiz. U xolda f(x) sodda va o’lchovli funktsiyalardan iborat bo’ladi. Agar
En
bo’lsa, u holda En o’lchovi
En
Endi
bo’lgani uchun f(x) funktsiya [-1,1] kesmada integrallanuvchi emas.
4.2. Masala. Agar R va Qn-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib
xn (kn,kn)G
bo’lganda
f(x)(kn-x)(x-kn)
bo’lsa va xP bo’lganda
f(x)0
bo’lsa, u holda
f(x)dx
integralni hisoblang.
Yechish. Bunday berilgan f(x) funktsiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning uchun [0,1] da Lebeg ma’nosida va demak Riman ma’nosida ham integrallashuvchi. 4.4.Teoremaga asosan
, PQ [0,1]
Endi P0 bo’lgani uchun 4.2.teoremaga ko’ra
Bu tenglikni e’tiborga olib 4.4.teoremaga asosan tenglikka quyidagini topamiz.
4.3. Masala. Faraz qilaylik bo’lib, A to’plamning hamma joyida deyarli f(x)>0 bo’lsin. Agar
bo’lsa, u holda 0 ekanligi isbotlansin.
Yechish. B to’plamni quyidagicha aniqlaymiz
|
