BY
T s > s
'V S Л Т '
& гвЬ
60
У
203-rasm.
ф c = Gr
- a c , Фа = — aD
(113.4)
(113.5)
inersiya kuchlarining hamda pog‘onali В shkivning
Д /Ф
-
G B
2
-----
g~
inersiya kuchlarining momentini qolshamiz.
С va Z)yuklar В shkivga arqon yordam ida bogMangani sababli
ac - cB RB , aD = z BrB
boMadi. (113.6) dan:
(113.7) ni (113.4) va (113.5) ga qo‘ysak
Gr
.
G
ac
R
b
ac
KB
(113.6)
(113.7)
(113.8)
8 KB
Фс = ^ . a c ,
Ф
0
=
■ ac , Mo
8
8 K
b
kelib chiqadi.
Sistemaga mumkin boMgan ko‘chish bersak, C, D yuklar mos ra
vishda
8sc , 8 s D
ko‘chishlarni, shuningdek, A blok mumkin boMgan
5ф^ burilishni, В shkiv esa
8
ц>в burilishni oladi.
Natijada dinam ikaning umumi y tenglam asi quyidagicha boMadi:
( ~ G C
sin60° -
Ф с ) б 5 с
-
М ф 5 ф й -D8 s D + т 8 ц А
= 0 . (113.9)
8sc , 8 s
D va 5фл larni 5фв orqali ifodalaymiz.
203-rasmdan
5sc = /?й8фв , 8sD = r B
8
(113.10)
В shkiv A blok bilan arqon vositasida biriktirilgani tufayli:
2 13
Длбфл = rB8q>B ,
(113.11)
b undan
§Фл -
• 5фв ,
К А
(113.7), (113.10), (113.11) ifodalarni (113.9) ga qo‘ysak:
8
ф s = 0
Gc f - s i n 6 0 ° - — 1 RB -
ас - 2 ° - 1 § - .а с + M
4
g ) B
g R B ^
g R
b
c
*
a
bunda 8фй * 0 ; shuning uchun yuqoridagi tenglikdan
Gc f - s i n 6 0 ° - ^ V « - — ■
+
M - ^ - ^ 0 (113.12)
V
g J
g R
b
°
b
kelib chiqadi. Masala shartidagi berilganlami e’tiborga olsak, (113.12) dan
ac = 0,9 m /s
hosil b o ‘ladi.
114- § . Lagranjning II tur tenglamalari
Lagranjning ikkinchi tu r tenglam alarini keltirib chiqarish uchun
dinam ikaning um um iy tenglamasi quyidagicha yozib olinadi:
X ( / t - / « vFv)Srv = 0 .
(114.1)
Faraz qilaylik, golonom , ideal va bo‘shatmaydigan bog‘lanishda-
gi sistema n ta nuqtadan tashkil topgan b o ‘lib, erkinlik darajasi к ta
b o ‘lsin.
M a’lumki, sistem a nuqtasining radius-vektorini um um lashgan
koordinatalar funksiyasi sifatida quyidagicha yozish mumkin:
К = rv (G\,
<72
> •••> Як, t ) .
(114.2)
Sistema nuqtalarining mumkin bo‘lgan ko‘chishlari
8^v
(v = 17^) -
(П 4 .3 )
M d
(114.3) ni (114.1) ga qo‘yamiz:
к f n
_
f t p
n
.. a ; )
I I ^ - Z * v * j M
4 = 0 .
7=1 V v = l
°
4
j
v = l
0 4
j
У
(110.3) formulaga ko‘ra:
d r
\
V = 1
d 4 j
2 1 4
Natijada,
к (
n
B r Л
l \ Q
j
= ° -
j
= I v
v = l
° 4 j
dr,,
(114.4)
(114.4) dagi rv —- ni quyidagicha o ‘zgartiramiz:
dqj
drv
d q /
drv drv
dt dq j
d_
I t
' a dr,
r —
V d(l j J
dt
drv
\ d
(И4.5)
(114.2) dan vaqt b o ‘yicha hosila olamiz:
л
drv .
8rv .
drv .
drv
rv = —-q, + —-q-, +••• + —— qk + —
v
3^1
41
dq2 42
dqk 4k
dt
(114.6)
(114.6) dan qj ham da qj bo‘yicha xususiy hosilalar olamiz:
4\ +
dA
__
dqj
dq\dqj
d 2n,
dqjdq
d
2
rv .
-
d
2
r,
дА_= д^_
dqj
dqj ’ KJ
dqj dqk ~,K
dtdqj
~ J ) .
, ( j = 1Д ) ;(1 14.7)
(114.8)
Endi (114.5) ifodadagi ^
drv
ydQj j
ni hisoblaymiz:
d_
dt
drv
ydqjj
d 2 K,
d 2r,
-4\ +■
d 2 rv
dqjdt
dqjdqi
' '
dqj dqj
(114.7) bilan (114.9) ni solishtirsak,
drv
_
d_
dqj
dt
kelib chiqadi.
d 2 Я
d q j8 q k
'— Як- (П4.9)
dr
у dqj;
(114.10)
(114.7) va (114.10) ni (114.5) ga qo‘yamiz:
yoki
drv
d q t
dn,
d q .
d_
dt
dt
д
dr
rv T -
dq
- r
d r
2
dq
4
v dqj
1
d r 2
2
dqj '
(114.11)
(114.11) ni (114.4) ga
q o ‘y s a k :
f f j f
Bunda X V = T ~ sistem aning kinetik energiyasi b o ‘lgani
=2
uchun
к
I
M
Q j - —
J
dt
8 T
\ 8
d T
8
q j
5 q. = 0
(114.12)
tenglamani hosil qilamiz.
(114.12) 8*7. * 0 da shuning uchun, (114.12) dan quyidagi tengla
malar kelib chiqadi:
Q i - dt
+ l L = o, U = T J )
d q , )
dq j
yoki
d_
dt
dq
d T
dq.
= Q i , ( j = 1Д ) -
(114.13)
(114.13) teng lam alar Lagranjning II tur tenglamalari deyiladi.
Shunday qilib, Lagranjning ikkinchi tur tenglamalari dinamika umu-
miy tenglam asining um um lashgan koordinatalar orqali ifodasidan
iborat.
Lagranj 11 tu r tenglam alarining afzalligi shundan iboratki, bu
tenglam alar soni sistemaning erkinlik darajasi soniga teng b o ‘lib, sis-
tem ani tashkil etuvchi nuqtalar soniga bog‘liq emas.
Agar ta ’sir qiluvchi kuch potensialli b o ‘lsa, Qj
da (114.13) quyidagicha yoziladi:
a n
dqj
d_
Hi
dq
/
■ ^ = 0, ( j = \ , k) -
dqj
; bu hol-
(114.14)
Bundagi L = T — П — Lagranj funksiyasi yoki Lagranjning ki
netik potensiali deyiladi; П = П ( ^ ,q
2
) esa potensial ener-
giyadan iborat.
115- §. Lagranjning II tur tenglamalarini tatbiq etib
masalalar yechish
[
Lagranjning II tu r tenglamasini tatbiq etib hal qilinadigan m a
salalar quyidagi tartibda yechiladi:
1. Berilgan sistemaning erkinlik darajasi aniqlanadi.
2. Umumlashgan koordinatalar tanlab olinadi.
3. Sistemaning kinetik energiyasi hisoblanadi va u um um lashgan
tezliklar orqali ifodalanadi.
4. Umumlashgan kuch aniqlanadi.
5. Lagranjning II tur tenglamalari tuziladi.
6. Tuzilgan tenglam adan kerakli nom a’lum lar aniqlanadi.
74-masala. m, massali DE sterjen h ar birining massasi m
2
boM
gan uchta g‘altak ustida yotadi. Sterjenning o ‘ng tom oniga gorizon-
tal ravishda yoMialgan F kuch q o ‘yilgan. U sterjen va g ‘altaklarni
harakatga keltiradi. DE sterjenning tezlanishi aniqlansin.
G ‘altaklar bir jinsli doiraviy silindr deb hisoblansin. Sterjen bilan
g‘altaklar, shuningdek, g ‘altaklar bilan gorizontal tekislik orasidagi
ishqalanish hisobga olinmasin (204-rasm).
Yechish. T ek shirilayo tg an sistem aga q o ‘yilgan bogM anishlar
ideal. Sistemaning holati DE sterjen E nuqtasining koordinatasi x E~
umumlashgan koordinata orqali bir qiymatli aniqlanadi. Demak, sis
tem a bitta erkinlik darajasiga ega.
DE sterjen tezlanishini aniqlash uchun Lagranjning II tu r tengla
masini tuzish kerak. Buning uchun avval sistema kinetik energiyasi-
ni hisoblaymiz. Sistema kinetik energiyasi sterjen va g'altaklar kine
tik energiyalarining yigMndisiga teng:
DE sterjen ilgarilam a harakatda boMgani tufayli uning kinetik
energiyasi quyidagicha:
(115.1)
T
oe
= ^ V 2
e .
(115.2)
С
204-rasm.
2 17
G ‘altaklar tekis parallel harakatda. Shuning uchun ulaming kine
tik energiyasi:
7g.„
+ i / s o)2
yoki
Тя.л = 3 \^m
2
Vs + ^m2r co j.
(115.3)
G ‘ildiraklarning tekislik bilan urinish n u qtalari tezliklar oniy
m arkazi b o ‘lgani uchun
Vs = cor, VE = ( o - 2 r .
(115.4)
(115.4) dan:
VS- = \ V E.
(П5.5)
(115.4) ni (115.3)
g a q o ‘y s a k :
Tt ;i = 3 ( i/ n 2 V\ + ± m
2
V l ) =
Kj .
(115.2) va (115.6) ni (115.1) ga qo‘yamiz:
(115.6)
T = ]J - ( 9 m
2
+ 8 т1) = *щ +*'П
2
х 2
Е.
(115.7)
16
2
1
16
b
Endi sistemaga x E um um lashgan koordinata bo‘yicha bxE m um
kin b o lg an ko‘chish berib, umum lashgan kuchni aniqlaymiz. Siste
m aga qo‘yilgan kuchlarning mumkin bo‘lgan ko‘chishdagi ishlarning
yig‘indisini hisoblaymiz: SA = F
8
xE.
ЪА
Umumlashgan kuchni aniqlash formulasi
QXf.
=
ga ko‘ra
QX
e
= F
■
(П5.8)
Sistemaning erkinlik darajasi bitta bo‘lgani sababli Lagranj II tur
tenglamasi bitta b o ‘ladi, ya’ni
* ( ” L ) - ° L =
q
(1159)
d t y d x £ J
dXfc
^
(115.7) dan:
d T
dxE
” ’
dxE
8
’
d t ^ d x E
(115.8) va (115.10) ni (115.9) ga qo‘yamiz: ^ ( 8 m, + 9 m 2 ) = F .
О
Bu ifodadan DE sterjenning tezlanishi аБ kelib chiqadi:
8 F
/
/ 2 \
ctp —
—
----- -— ( m /s ).
E
8 m\ +9 m
2
'
| 