l)(v +l)avpv+l~1 -2aS](v +1 + l)avpv+l + f—

Download 9,41 Mb. Pdf ko'rish
bet	91/240
Sana	08.01.2024
Hajmi	9,41 Mb.
	#132633

1 ... 87 88 89 90 91 92 93 94 ... 240

l)(v
+l)avpv+l~1 -2aS](v +1 + l)avpv+l
+ f—
^,pv+;+1 =0
u=o
{ p
p
)^o
yoki
X(v+/+lXv+/)4 pl4/4 -7ajjv+l+\)c{.pv- +2Z^\{,pvW
= 0
v=0
v=0
v=0
v=0
tenglama hosil qilinadi. Oxirgi ifodadagi birinchi va to‘rtinchi hadda v
ni v+1 ga almashtirib, p ning bir xil darajalari hosil qilinadi. Shunday
qilib,
2 > v +1 [(v +1 + 2)(v +1 +1) - /(/ +1)]+av [2Z -2a(v + l + l)]}pv+' = 0
v=0
(5.36)
tenglamaga kelinadi. (5.35) qator (5.34) tenglamaning yechimi bo‘lishi
uchun p ning barcha qiymatlarida (5.36) ifoda noldan cheksizlikkacha
aynan qanoatlantirilishi kerak. Bu esa faqat p oldida turgan
koeffitsiyentlar alohida-alohida nolga teng bo‘lgandagina o‘rinlidir,
ya’ni v ning barcha qiymatlarida
av+i [(V+1 + 2)(v +1 +1) - 1(1 +1)] + av [2Z - 2a(v +1 +1)] = 0
(5.37)
shart bajarilishi kerak. Bu talabdan <\
va a^ t orasida quyidagi rekurrent
formula kelib chiqadi:
152

2a(v + l + \)-2Z
A i о -
^
v =0,1,2,
j
,.....
(5.38)
V+1 (v + / + 2)(v + / +1) - /(/ +1)
Birinchi o0 koeffitsiyent ixtiyoriy ravishda tanlab olinishi kerak. Bu
koeffltsiyentga qandaydir qiymat berib, (5.38) dan a, ni topish mumkin,
a, orqali a2 aniqlanadi va hokazo. Barcha av lami hisoblab, p
darajalari bo‘yicha qator shaklidagi izlanayotgan yechimni topish
mumkin. Rekurrent formuladan ko‘rinib turibdiki, (5.35) qator Z va a
o‘zgarmaslar o‘rtasidagi munosabatga bogiiq ravishda cheksiz darajali
yoki chekli darajali kabi qatorga, ya’ni polinomga aylanadi. Agarda
Z
X = —
va S = 2l + l
a
kabi belgilash kiritilsa, (5.38) formulani
5 + 1
-
2 a
(v +
~
Яу
v + 1
v + / + 1
ko‘rinishda yozish mumkin boiadi. Agar qator uzilmasa va v
intilsa, quyidagi formulaga ega boiinadi:
ar
f' + l
Bo xil rekurrent formula eksponenta ko‘rinishidagi funksiyalar uchun
o‘rinlidir. Haqiqatdan ham:
e2ap =j?--(2ap)"
n!
boiganligi uchun
qatoming
p"
va
р'ы
hadlari oldidagi
koeffitsiyentlarining nisbati:
6n+l _ (2a)"+! (2a)" _ 2a
bn
(и +
1)!
и!
и
+ 1
ga teng boiadi. Demak (5.35) qator chekli boimasa, v ning katta
qiymatlarida f(p) funksiyani tavsiflovchi qator, e
funksiya kabi
o‘zgaradi va p ning cheksizlikka intilishida chekli boiish sharti
qo‘yilgan R radial funksiya uzoqlashuvchi asimptitotikaga ega boiib
exp (ap)
P
olmaganligi sababli bu yechimning ahamiyati yo‘q. p
da yechim
qoladi, ya’ni p->°° da
Fizik haqiqatni aks ettira
153

chekli bo‘lishi uchun qator biror v hadda uzilishga ega bo‘lishi kerak.
U holda f(p) qator ko‘phad boiib qoladi va p - » « boiganida ham
R-*0 boiadi. Hosil qilingan bunday yechim tekshirilayotgan
tenglamaning xususiy funksiyasi boiib, p = о dan to p —
00 gacha
boigan intervalda chekli va bir qiymatli boiadi.
Endi (5.35) qator biror v hadida uzilishga to‘g‘ri keladigan shart
aniqlanadi. Qator uzilish uchun (5.38) ning o‘ng tomonidagi kasr surati
nolga aylanishi lozim, ya’ni
2a(nr+l+\)-2Z = 0
yoki
a =-
Z
«r+/ + 1
(5-39)
boiishi kerak. Hosil qilingan
(5.39) tenglikdan ayonki, bu shart
bajarilganda
а п,.л\
koeffitsiyentmng o‘zi va undan keyingi
koeffitsiyentlaming barchasi nolga teng boiishi kerak. Demak, / (p)
yechim ko‘phadga aylanishi uchun va shu bilan birga R{p) funksiya
butun intervalda chekli boiishi uchun (5.39) ifoda yetarli va zaruriy
shart sifatida bajarilishi kerak.

Download 9,41 Mb.

1 ... 87 88 89 90 91 92 93 94 ... 240

Download 9,41 Mb.

Pdf ko'rish