1.3-chizma
Abgebraik
tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o’rganilgan va ancha osondir. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbatan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining ham chegaralarini beradi. Biz har doim tenglamada koeffitsentlar haqiqiy va , deb olamiz.
1-teorema. Agar , bo’lsa, u holda tenglamaning barcha ildizlari halqa ichida yotadi. (1.4- chizma)
Isbot. Faraz qilaylik, bo’lsin. Modulning xossalariga ko’ra
Agar biz bu yerda deb olsak, u holda tengsizlik kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, ning bu qiymatlarida ko’phad nolga aylanmaydi, ya’ni tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi.
1.4-chizma
Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun deb olib, ga ega bo’lamiz, bu yerda .Teoremaning isbot qilingan qismiga ko’ra ko’phadning ildizlari (nollari). Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa kelib chiqadi.
E s l a t m a: Bu teoremadagi va sonlar tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash - va - sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo’ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo’poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.
2-teorema. (Lagranj teoremasi). Agar tenglamaning manfiy koeffisentlaridan eng birinchisi (chapdan o’ng tomon hisoblaganda) bo’lib, manfiy koeffitsentlarning absolyut qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi
son bilan ifodalanadi.
Isbot. Bu yerda ham deb olamiz. Agar ko’phadda manfiy bo’lmagan barcha , , koefisentlarini esa - manfiy son bilan almashtirsak, ko’phadning qiymati faqat kamayishi mumkin, shuning uchun ham tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa bo’lganda
kelib chiqadi. Demak, bo’lganda ga ega bo’lamiz, ya’ni tenglamaning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantirar ekan.
|
